Question

给定数列 $\begin{gathered} 10^{\frac{1}{11}},10^{\frac{2}{11}},10^{\frac{3}{11}},\\ 10^{\frac{4}{11}},\ldots,10^{\frac{n}{11}}\text{，} \end{gathered}$ 使前 $n$ 项之积大于 $100{,}000$ 的最小正整数 $n$ 为：

Given the progression $\begin{gathered} 10^{\frac{1}{11}},10^{\frac{2}{11}},10^{\frac{3}{11}},\\ 10^{\frac{4}{11}},\ldots,10^{\frac{n}{11}}, \end{gathered}$ the least positive integer $n$ such that the product of the first $n$ terms exceeds $100{,}000$ is:

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

答案：E

知识点：等比数列指数三角形数不等式

难度评级：1760

小提示：

各项相乘时，把指数相加

Add the exponents when multiplying the terms

大提示：

要求 $\frac{n(n+1)}{22}\gt5$ ，注意等号并不满足条件

Require $\frac{n(n+1)}{22}\gt5$ , noting that equality is not enough

解答：

该乘积为 $10^{\frac{1+2+\cdots+n}{11}}=10^{\frac{n(n+1)}{22}}\text{。}$ 它大于 $100{,}000=10^5$ 当且仅当 $n(n+1)\gt110$ 。当 $n=10$ 时恰好相等，而 $n=11$ 时满足条件。

因此，正确答案为 E。

The product is $10^{\frac{1+2+\cdots+n}{11}}=10^{\frac{n(n+1)}{22}}.$ It exceeds $100{,}000=10^5$ exactly when $n(n+1)\gt110.$ For $n=10$ there is equality, while $n=11$ works.

Therefore, the correct answer is E.

1971 AMC 12 第 29 题

答案：E

难度评级：1760

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 29 题