Question

给定线性分式变换 $f_1(x)=\frac{2x-1}{x+1}\text{，}$ 对 $n=1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $\ldots$ ，定义 $f_{n+1}(x)=f_1(f_n(x))$ 。若 $f_{35}(x)=f_5(x)$ ，则 $f_{28}(x)$ 等于：

Given the linear fractional transformation $f_1(x)=\frac{2x-1}{x+1},$ define $f_{n+1}(x)=f_1(f_n(x))$ for $n=1,$ $2,$ $3,$ $\ldots.$ Assuming $f_{35}(x)=f_5(x),$ it follows that $f_{28}(x)$ is equal to:

$x$

$\frac{1}{x}$

$\frac{x-1}{x}$

$\frac{1}{1-x}$

以上都不是

None of these

答案：D

知识点：函数递推变换

难度评级：2340

小提示：

通过复合逆变换消去五次迭代

Cancel five iterates by composing with the inverse transformation

大提示：

若 $g=f_1^{-1}$ ，那么在 $f_{30}$ 为恒等变换后有 $f_{28}=g^2$

If $g=f_1^{-1}$ , then $f_{28}=g^2$ once $f_{30}$ is the identity

解答：

该变换可逆。由 $f_{35}=f_5$ ，与 $f_5^{-1}$ 复合可知 $f_{30}$ 是恒等变换。由 $y=\frac{2x-1}{x+1}$ 解出 $x$ ，得 $g(y)=f_1^{-1}(y)=\frac{y+1}{2-y}\text{。}$ 由于迭代的周期为 $30$ ， $f_{28}=f_{-2}=g^2$ 。直接复合得到 $g(g(x))=\frac{1}{1-x}\text{。}$

因此，正确答案为 D。

The transformation is invertible. From $f_{35}=f_5,$ composing with $f_5^{-1}$ shows that $f_{30}$ is the identity. Solving $y=\frac{2x-1}{x+1}$ for $x$ gives $g(y)=f_1^{-1}(y)=\frac{y+1}{2-y}.$ Since iterates have period $30,$ $f_{28}=f_{-2}=g^2.$ Direct composition gives $g(g(x))=\frac{1}{1-x}.$

Therefore, the correct answer is D.

1971 AMC 12 第 30 题

答案：D

难度评级：2340

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 30 题