Question

求下式的十进制展开式的个位数字： $(15+\sqrt{220})^{19}+(15+\sqrt{220})^{82}\text{。}$

Find the units digit in the decimal expansion of $(15+\sqrt{220})^{19}+(15+\sqrt{220})^{82}.$

$0$

$2$

$5$

$9$

以上都不是

none of these

答案：D

知识点：递推模运算个位数字

难度评级：2400

小提示：

将 $\alpha=15+\sqrt{220}$ 与其共轭式 $\beta=15-\sqrt{220}$ 配对

Pair $\alpha=15+\sqrt{220}$ with its conjugate $\beta=15-\sqrt{220}$

大提示：

整数 $S_n=\alpha^n+\beta^n$ 满足一个简短的递推关系，而 $0\lt\beta\lt1$

The integers $S_n=\alpha^n+\beta^n$ satisfy a short recurrence, while $0\lt\beta\lt1$

解答：

令 $\alpha=15+\sqrt{220}$ ，且 $\beta=15-\sqrt{220}$ ，则 $0\lt\beta\lt1$ 。整数 $S_n=\alpha^n+\beta^n$ 满足 $S_n=30S_{n-1}-5S_{n-2}$ ，因此对每个 $n\ge1$ ，都有 $S_n\equiv0\pmod{10}$ 。于是 $\begin{aligned} \alpha^{19}+\alpha^{82} &=S_{19}+S_{82}\\ &\quad-(\beta^{19}+\beta^{82}) \end{aligned}$ 等于 $10$ 的某个倍数减去一个小于 $1$ 的正数。因此它的整数部分以 $9$ 为个位数字。

因此，正确答案为 D。

Let $\alpha=15+\sqrt{220}$ and $\beta=15-\sqrt{220},$ so $0\lt\beta\lt1.$ The integers $S_n=\alpha^n+\beta^n$ satisfy $S_n=30S_{n-1}-5S_{n-2},$ hence $S_n\equiv0\pmod{10}$ for every $n\ge1.$ Therefore $\begin{aligned} \alpha^{19}+\alpha^{82} &=S_{19}+S_{82}\\ &\quad-(\beta^{19}+\beta^{82}) \end{aligned}$ is a multiple of $10$ minus a positive number less than $1.$ Its integer part therefore ends in $9.$

Therefore, the correct answer is D.

1982 AMC 12 第 30 题

答案：D

难度评级：2400

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 30 题