Question

在一项网球锦标赛中，有 $n$ 名女子和 $2n$ 名男子参赛，每位选手都与其他每位选手恰好比赛一场。若比赛没有平局，且女子获胜场数与男子获胜场数之比为 $\frac{7}{5}$ ，则 $n$ 等于

In a tennis tournament, $n$ women and $2n$ men play, and each player plays exactly one match with every other player. If there are no ties and the ratio of the number of matches won by women to the number of matches won by men is $\frac{7}{5},$ then $n$ equals

$2$

$4$

$6$

$7$

以上都不是

none of these

答案：E

知识点：基本计数整除性极限情形界定

难度评级：2200

小提示：

设 $k$ 为女子在男女对阵中获胜的场数，并计算女子获胜的总场数

Let $k$ be the number of mixed matches won by women and count all wins by women

大提示：

结合 $0\le k\le2n^2$ 与女子应占全部胜场的 $\frac{7}{12}$

Use $0\le k\le2n^2$ together with the required $\frac{7}{12}$ share of all match wins

解答：

比赛总数为 $\frac{3n(3n-1)}{2}$ ，所以女子必须赢得 $\frac{7n(3n-1)}{8}$ 场。若女子在 $2n^2$ 场男女对阵中赢了 $k$ 场，则 $\frac{n(n-1)}2+k=\frac{7n(3n-1)}8\text{，}$ 从而 $k=\frac{n(17n-3)}{8}$ 。由上界 $k\le2n^2$ 可得 $n\le3$ 。当 $n=1$ 、 $2$ 时，该公式给出的值不是整数；当 $n=3$ 时，得到 $k=18$ ，这是可能的。因此 $n=3$ ，不在列出的数值选项中。

因此，正确答案是 E。

There are $\frac{3n(3n-1)}{2}$ matches, so women must win $\frac{7n(3n-1)}{8}$ matches. If women win $k$ of the $2n^2$ mixed matches, then $\frac{n(n-1)}2+k=\frac{7n(3n-1)}8,$ giving $k=\frac{n(17n-3)}{8}.$ The bound $k\le2n^2$ forces $n\le3.$ For $n=1,$ $2,$ this formula is not an integer, while $n=3$ gives $k=18,$ which is possible. Thus $n=3,$ which is not among the listed numerical choices.

Therefore, the correct answer is E.

1978 AMC 12 第 30 题

答案：E

难度评级：2200

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 30 题