Question

对任意集合 $S$ ，用 $|S|$ 表示 $S$ 的元素个数，用 $n(S)$ 表示 $S$ 的子集个数，其中包括空集和 $S$ 本身。若集合 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 满足 $\begin{gathered} n(A)+n(B)+n(C)\\ {}=n(A\cup B\cup C),\\ |A|=|B|=100 \end{gathered}\text{，}$ 则 $|A\cap B\cap C|$ 的最小可能值是多少？

For any set $S,$ let $|S|$ denote the number of elements in $S,$ and let $n(S)$ be the number of subsets of $S,$ including the empty set and the set $S$ itself. If $A,$ $B,$ and $C$ are sets for which $\begin{gathered} n(A)+n(B)+n(C)\\ {}=n(A\cup B\cup C),\\ |A|=|B|=100, \end{gathered}$ then what is the minimum possible value of $|A\cap B\cap C|?$

$96$

$97$

$98$

$99$

$100$

答案：B

知识点：set cardinality 子集 powers of two extremal counting

难度评级：2430

小提示：

使用 $n(S)=2^{|S|}$ ，并求出 $|C|$ 和 $|A\cup B\cup C|$

Use $n(S)=2^{|S|}$ and determine $|C|$ and $|A\cup B\cup C|$

大提示：

在并集中，数一数 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 各自可以缺少多少个元素

Within the union, count how many elements each of $A,$ $B,$ and $C$ can omit

解答：

令 $c=|C|$ ， $u=|A\cup B\cup C|$ 。由于 $n(S)=2^{|S|}$ ，方程变为 $2^{101}+2^c=2^u$ 。两个加数必须相等，所以 $c=101$ ， $u=102$ 。在并集中， $A$ 、 $B$ 和 $C$ 分别缺少 $2$ 、 $2$ 和 $1$ 个元素。因此，三重交集中最多缺少五个不同的元素，从而 $|A\cap B\cap C|\ge97$ 。令这些缺少的元素彼此不同即可取到等号。

因此正确答案为 B。

Let $c=|C|$ and $u=|A\cup B\cup C|.$ Since $n(S)=2^{|S|},$ the equation becomes $2^{101}+2^c=2^u.$ The two summands must be equal, so $c=101$ and $u=102.$ Within the union, $A,$ $B,$ and $C$ omit $2,$ $2,$ and $1$ elements. Thus at most five distinct elements are absent from the triple intersection, giving $|A\cap B\cap C|\ge97.$ Equality is attained by making those omissions distinct.

Thus the correct answer is B.

1991 AMC 12 第 30 题

答案：B

难度评级：2430

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 30 题