Question

设 $f(x)=4x-x^2$ 。给定 $x_0$ ，考虑由 $x_n=f(x_{n-1})$ （对所有 $n\ge1$ ）定义的数列。对于多少个实数 $x_0$ ，数列 $x_0$ 、 $x_1$ 、 $x_2$ 、 $\ldots$ 只取有限多个不同的值？

Let $f(x)=4x-x^2.$ Given $x_0,$ consider the sequence defined by $x_n=f(x_{n-1})$ for all $n\ge1.$ For how many real numbers $x_0$ will the sequence $x_0,$ $x_1,$ $x_2,$ $\ldots$ take on only a finite number of different values?

$0$

$1$ 或 $2$

$1$ or $2$

$3$ 、 $4$ 、 $5$ 或 $6$

$3,$ $4,$ $5$ or $6$

多于 $6$ 个但只有有限多个

more than $6$ but finitely many

无限多个

infinitely many

答案：E

知识点：function iteration preimages 数学归纳法 finite orbits

难度评级：2930

小提示：

从 $0$ 开始，再依次寻找映射到 $0$ 的数

Start with $0,$ then find numbers mapping successively to $0$

大提示：

对于每个 $a\le4$ ，解方程 $4x-x^2=a$ ，并选择一个新的实数原像

For every $a\le4,$ solve $4x-x^2=a$ and choose a new real preimage

解答：

初始值 $0,4,2$ 分别给出有限轨道 $0$ 、 $4\to0$ 和 $2\to4\to0$ 。更一般地，若 $a_n$ 是一条终止于 $0$ 的有限链的起点，解 $4a_{n+1}-a_{n+1}^2=a_n\text{。}$ 它的实数解为 $a_{n+1}=2\pm\sqrt{4-a_n}$ 。选择一个尚未出现在链中的原像，就能将这条链延长一个新值。重复此过程可得到无限多个具有有限轨道的不同初始值。

因此，正确答案是 E。

The starting values $0,4,2$ give finite orbits $0$ , $4\to0$ , and $2\to4\to0.$ More generally, if $a_n$ begins a finite chain ending at $0,$ solve $4a_{n+1}-a_{n+1}^2=a_n.$ Its real solutions are $a_{n+1}=2\pm\sqrt{4-a_n}.$ Choosing a preimage not already in the chain extends it by one new value. Repeating produces infinitely many distinct starting values with finite orbits.

Thus the correct answer is E.

1988 AMC 12 第 30 题

答案：E

难度评级：2930

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 30 题