Question

不同的点 $A$ 和 $B$ 位于以 $MN$ 为直径、 $C$ 为圆心的半圆上。点 $P$ 位于 $CN$ 上，并且 $\angle CAP=\angle CBP=10^\circ$ 。若 $\overset{\frown}{MA}=40^\circ$ ，则 $\overset{\frown}{BN}$ 等于

Distinct points $A$ and $B$ are on a semicircle with diameter $MN$ and center $C.$ The point $P$ is on $CN$ and $\angle CAP=\angle CBP=10^\circ.$ If $\overset{\frown}{MA}=40^\circ,$ then $\overset{\frown}{BN}$ equals

$10^\circ$

$15^\circ$

$20^\circ$

$25^\circ$

$30^\circ$

答案：C

知识点：圆弧正弦定理导角

难度评级：2430

小提示：

弧 $40^\circ$ 给出 $\angle ACP=140^\circ$

The $40^\circ$ arc gives $\angle ACP=140^\circ$

大提示：

利用 $AC=BC$ 和正弦定理比较三角形 $ACP$ 与 $BCP$

Compare triangles $ACP$ and $BCP$ using $AC=BC$ and the law of sines

解答：

由于 $\overset{\frown}{MA}=40^\circ$ ，所以圆心角 $\angle MCA=40^\circ$ ，从而 $\angle ACP=140^\circ$ 。于是 $\angle APC=180^\circ-140^\circ$ ${}-10^\circ=30^\circ$ 。在三角形 $ACP$ 和 $BCP$ 中应用正弦定理，并利用 $AC=BC$ ，得到 $\sin\angle BPC=\sin30^\circ$ 。由于 $A$ 与 $B$ 不同，所以 $\angle BPC=150^\circ$ 。因此 $\begin{aligned} \angle BCN &=180^\circ-150^\circ-10^\circ\\ &=20^\circ \end{aligned}\text{，}$ 所以 $\overset{\frown}{BN}=20^\circ$ 。

所以正确答案是 C。

Since $\overset{\frown}{MA}=40^\circ,$ the central angle $\angle MCA=40^\circ,$ so $\angle ACP=140^\circ.$ Hence $\angle APC=180^\circ-140^\circ$ ${}-10^\circ=30^\circ.$ Applying the law of sines in triangles $ACP$ and $BCP,$ and using $AC=BC,$ gives $\sin\angle BPC=\sin30^\circ.$ Because $A$ and $B$ are distinct, $\angle BPC=150^\circ.$ Therefore $\begin{aligned} \angle BCN &=180^\circ-150^\circ-10^\circ\\ &=20^\circ, \end{aligned}$ so $\overset{\frown}{BN}=20^\circ.$

Therefore, the correct answer is C.

1983 AMC 12 第 30 题

答案：C

难度评级：2430

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 30 题