Question

将 $27$ 个单位立方体堆成一个大立方体。一个平面垂直于大立方体的一条体对角线，并平分该对角线。这个平面与多少个单位立方体相交？

A large cube is formed by stacking $27$ unit cubes. A plane is perpendicular to one of the internal diagonals of the large cube and bisects that diagonal. The number of unit cubes that the plane intersects is

$16$

$17$

$18$

$19$

$20$

答案：D

知识点：three-dimensional coordinates 生成函数

难度评级：2330

小提示：

将大立方体表示为 $[0,3]^3$ ，写出经过其中心且垂直于体对角线的平面方程

Model the large cube as $[0,3]^3$ and write the plane through its center perpendicular to the diagonal

大提示：

用每个单位立方体中 $x+y+z$ 的最小值为其编号，并判断哪些编号能使平面相交

Index each unit cube by its minimum value of $x+y+z$ and determine which index sums allow an intersection

解答：

将大立方体取为 $[0,3]^3$ 。所求平面为 $x+y+z=\frac{9}{2}$ 。一个下方顶点为 $(i,j,k)$ 的单位立方体，其中 $i,j,k\in\{0,1,2\}$ ，其内部 $x+y+z$ 的取值从 $s=i+j+k$ 到 $s+3$ 。它与该平面相交，当且仅当 $s=2$ 、 $s=3$ 或 $s=4$ 。在 $(1+x+x^2)^3$ 中， $x^2$ 、 $x^3$ 、 $x^4$ 的系数分别为 $6$ 、 $7$ 、 $6$ 。因此该平面与 $6+7+6=19$ 个单位立方体相交，正确答案是 D。

Take the large cube as $[0,3]^3.$ The plane is $x+y+z=\frac{9}{2}.$ A unit cube with lower corner $(i,j,k),$ where $i,j,k\in\{0,1,2\},$ contains values of $x+y+z$ from $s=i+j+k$ to $s+3.$ It intersects the plane exactly when $s=2,$ $s=3,$ or $s=4.$ The coefficients of $x^2,$ $x^3,$ $x^4$ in $(1+x+x^2)^3$ are $6,$ $7,$ $6.$ Thus the plane intersects $6+7+6=19$ unit cubes, and the correct answer is D.

1995 AMC 12 第 30 题

答案：D

难度评级：2330

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 30 题