Question

令 $x=\cos36^\circ-\cos72^\circ$ 。则 $x$ 等于

Let $x=\cos36^\circ-\cos72^\circ.$ Then $x$ equals

$\frac13$

$\frac12$

$3-\sqrt6$

$2\sqrt3-3$

以上都不对

none of these

答案：B

知识点：三角恒等式代数变形

难度评级：1670

小提示：

令 $w=\cos36^\circ$ 、 $y=\cos72^\circ$

Let $w=\cos36^\circ$ and $y=\cos72^\circ$

大提示：

利用 $y=2w^2-1$ 和 $w=1-2y^2$ ，再将两个等式相加

Use $y=2w^2-1$ and $w=1-2y^2$ , then add the equations

解答：

令 $w=\cos36^\circ$ 、 $y=\cos72^\circ$ 。由二倍角公式， $y=2w^2-1,\qquad w=1-2y^2\text{。}$ 两式相加得 $\begin{aligned} w+y&=2(w^2-y^2)\\ &=2(w-y)(w+y)\text{。} \end{aligned}$ 因为 $w+y\ne0$ ，两边相除得 $w-y=\frac{1}{2}$ 。因此 $x=\frac{1}{2}$ 。

因此，正确答案是 B。

Set $w=\cos36^\circ$ and $y=\cos72^\circ.$ The double-angle identities give $y=2w^2-1,\qquad w=1-2y^2.$ Adding yields $\begin{aligned} w+y&=2(w^2-y^2)\\ &=2(w-y)(w+y). \end{aligned}$ Since $w+y\ne0,$ division gives $w-y=\frac{1}{2}.$ Thus $x=\frac{1}{2}.$

Therefore, the correct answer is B.

1975 AMC 12 第 30 题

答案：B

难度评级：1670

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 30 题