Question

一名商人用 $d$ 美元买了 $n$ 台收音机，其中 $d$ 是正整数。他以成本一半的价格将两台收音机提供给社区义卖会，其余每台以获利 $\$8$ 的价格售出。若总利润为 $\$72$ ，则根据已知信息， $n$ 的最小可能值为：

A dealer bought $n$ radios for $d$ dollars, $d,$ a positive integer. He contributed two radios to a community bazaar at half their cost. The rest he sold at a profit of $\$8$ on each radio sold. If the overall profit was $\$72,$ then the least possible value of $n$ for the given information is:

$18$

$16$

$15$

$12$

$11$

答案：D

知识点：钱币一次方程整除性

难度评级：1880

小提示：

每台收音机的成本为 $\frac{d}{n}$ 美元

Each radio costs $\frac{d}{n}$ dollars

大提示：

写出 $n-2$ 台获利销售与两台半价销售所得的总收入

Write the total intake from $n-2$ profitable sales and two half-cost sales

解答：

$n-2$ 台正常销售带来 $(n-2)(\frac{d}{n}+8)$ 的收入，两台义卖收音机合计带来 $\frac{d}{n}$ 的收入。由于总收入为 $d+72$ ， $\begin{aligned} &(n-2)\left(\frac dn+8\right)+\frac dn\\ &\qquad=d+72 \end{aligned}\text{。}$ 化简得 $d=8n(n-11)$ 。正性要求 $n\gt11$ ，而 $n=12$ 给出正整数 $d=96$ 。

因此，正确答案是 D。

The $n-2$ regular sales bring $(n-2)(\frac{d}{n}+8),$ while the two bazaar radios bring $\frac{d}{n}$ together. Since the total intake is $d+72,$ $\begin{aligned} &(n-2)\left(\frac dn+8\right)+\frac dn\\ &\qquad=d+72. \end{aligned}$ This reduces to $d=8n(n-11).$ Positivity requires $n\gt11,$ and $n=12$ gives the positive integer $d=96.$

Therefore, the correct answer is D.

1967 AMC 12 第 30 题

答案：D

难度评级：1880

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 30 题