Question

设 $D=a^2+b^2+c^2$ ，其中 $a$ 、 $b$ 为相邻整数，且 $c=ab$ 。则 $\sqrt D$ ：

Let $D=a^2+b^2+c^2,$ where $a,$ $b$ are consecutive integers and $c=ab.$ Then $\sqrt D$ is:

总是偶整数

always an even integer

有时是奇整数，有时不是

sometimes an odd integer, sometimes not

总是奇整数

always an odd integer

有时是有理数，有时不是

sometimes rational, sometimes not

总是无理数

always irrational

答案：C

知识点：代数变形奇偶性完全平方数

难度评级：1500

小提示：

令 $b=a+1$ ，并展开 $D$

Set $b=a+1$ and expand $D$

大提示：

尝试将 $D$ 识别为 $a^2+a+1$ 的平方

Try to recognize $D$ as the square of $a^2+a+1$

解答：

取 $b=a+1$ 且 $c=a(a+1)$ ，则 $\begin{aligned} D&=a^2+(a+1)^2+a^2(a+1)^2\\ &=(a^2+a+1)^2 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $\sqrt D=a^2+a+1$ 。因为 $a(a+1)$ 为偶数，所以这个整数总是奇数。

因此，正确答案是 C。

With $b=a+1$ and $c=a(a+1),$ $\begin{aligned} D&=a^2+(a+1)^2+a^2(a+1)^2\\ &=(a^2+a+1)^2. \end{aligned}$ Thus $\sqrt D=a^2+a+1.$ Since $a(a+1)$ is even, this integer is always odd.

Therefore, the correct answer is C.

1967 AMC 12 第 31 题

答案：C

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 31 题