Question

四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于 $O$ ，且 $BO=4$ 、 $OD=6$ 、 $AO=8$ 、 $OC=3$ 、 $AB=6$ 。则 $AD$ 的长度为：

In quadrilateral $ABCD$ with diagonals $AC$ and $BD$ intersecting at $O,$ $BO=4,$ $OD=6,$ $AO=8,$ $OC=3,$ and $AB=6.$ The length of $AD$ is:

$9$

$10$

$6\sqrt3$

$8\sqrt2$

$\sqrt{166}$

答案：E

知识点：余弦定理导角

难度评级：1690

小提示：

利用三角形 $AOB$ 求 $\cos\angle AOB$

Use triangle $AOB$ to find $\cos\angle AOB$

大提示：

角 $AOB$ 与角 $AOD$ 互为补角

Angles $AOB$ and $AOD$ are supplementary

解答：

在三角形 $AOB$ 中， $\begin{aligned} \cos\angle AOB &=\frac{8^2+4^2-6^2}{2\cdot8\cdot4}\\ &=\frac{11}{16} \end{aligned}\text{。}$ 因此 $\cos\angle AOD=-\frac{11}{16}$ 。在三角形 $AOD$ 中应用余弦定理可得 $\begin{aligned} AD^2 &=8^2+6^2\\ &\quad+2(8)(6)\frac{11}{16}\\ &=166 \end{aligned}\text{。}$ 所以 $AD=\sqrt{166}$ 。

因此，正确答案是 E。

In triangle $AOB,$ $\begin{aligned} \cos\angle AOB &=\frac{8^2+4^2-6^2}{2\cdot8\cdot4}\\ &=\frac{11}{16}. \end{aligned}$ Therefore $\cos\angle AOD=-\frac{11}{16}.$ Applying the law of cosines in triangle $AOD$ gives $\begin{aligned} AD^2 &=8^2+6^2\\ &\quad+2(8)(6)\frac{11}{16}\\ &=166. \end{aligned}$ Hence $AD=\sqrt{166}.$

Therefore, the correct answer is E.

1967 AMC 12 第 32 题

答案：E

难度评级：1690

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 32 题