Question

一个棱锥的底面是边长为 $6$ 的等边三角形，其余各棱长均为 $\sqrt{15}$ 。则该棱锥的体积为

The volume of a pyramid whose base is an equilateral triangle of side length $6$ and whose other edges are each of length $\sqrt{15}$ is

$9$

$\dfrac92$

$\dfrac{27}{2}$

$\dfrac{9\sqrt3}{2}$

以上都不是

none of these

答案：A

知识点：棱锥等边三角形体积勾股定理

难度评级：2040

小提示：

从顶点作的高与底面交于等边三角形的外心

The altitude from the apex meets the base at the equilateral triangle’s circumcenter

大提示：

利用底面的外接圆半径 $2\sqrt3$ 与侧棱 $\sqrt{15}$ 求高

Use the base circumradius $2\sqrt3$ and a lateral edge $\sqrt{15}$ to find the height

解答：

底面积为 $\frac{\sqrt3}{4}(6^2)=9\sqrt3\text{。}$ 因为顶点到三个底面顶点的距离相等，所以其垂直投影是底面的外心。等边三角形底面的外接圆半径为 $\frac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3$ 。若 $h$ 为棱锥的高，则 $h^2+(2\sqrt3)^2=(\sqrt{15})^2\text{，}$ 所以 $h=\sqrt3$ 。体积为 $\frac13(9\sqrt3)(\sqrt3)=9\text{。}$

所以正确答案是 A。

The base area is $\frac{\sqrt3}{4}(6^2)=9\sqrt3.$ Because the apex is equally distant from all three base vertices, its perpendicular projection is the base circumcenter. The circumradius of the equilateral base is $\frac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3.$ If $h$ is the pyramid’s height, then $h^2+(2\sqrt3)^2=(\sqrt{15})^2,$ so $h=\sqrt3.$ The volume is $\frac13(9\sqrt3)(\sqrt3)=9.$

Therefore, the correct answer is A.

1973 AMC 12 第 32 题

答案：A

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 32 题