Question

图示圆中的弦 $AB$ 和 $CD$ 在 $E$ 点垂直相交。若线段 $AE$ ， $EB$ ，和 $ED$ 的长度依次为 $2$ ， $6$ ，和 $3$ ，则该圆的直径长度为：

Chords $AB$ and $CD$ in the circle shown intersect at $E$ and are perpendicular to each other. If segments $AE,$ $EB,$ and $ED$ have measures $2,$ $6,$ and $3$ respectively, then the length of the diameter of the circle is:

$4\sqrt5$

$\sqrt{65}$

$2\sqrt{17}$

$3\sqrt7$

$6\sqrt2$

答案：B

知识点：圆幂坐标几何距离公式圆

难度评级：1890

小提示：

先使用 $AE\cdot EB=CE\cdot ED$

First use $AE\cdot EB=CE\cdot ED$

大提示：

把 $E$ 置于原点；圆心位于两条弦的垂直平分线交点

Place $E$ at the origin; the center is at the intersection of the two chord perpendicular bisectors

解答：

由相交弦定理， $2\cdot6=CE\cdot3\text{，}$ 所以 $CE=4$ 。令 $E=(0,0)$ 、 $A=(-2,0)$ 、 $B=(6,0)$ 、 $C=(0,4)$ 且 $D=(0,-3)$ 。弦 $AB$ 与 $CD$ 的垂直平分线交于 $O=\left(2,\frac12\right)\text{。}$ 因此 $r^2=OA^2=4^2+\left(\frac12\right)^2=\frac{65}{4}\text{，}$ 直径为 $2r=\sqrt{65}$ 。

因此，正确答案是 B。

The intersecting-chords theorem gives $2\cdot6=CE\cdot3,$ so $CE=4.$ Put $E=(0,0),$ $A=(-2,0),$ $B=(6,0),$ $C=(0,4),$ and $D=(0,-3).$ The perpendicular bisectors of $AB$ and $CD$ meet at $O=\left(2,\frac12\right).$ Thus $r^2=OA^2=4^2+\left(\frac12\right)^2=\frac{65}{4},$ and the diameter is $2r=\sqrt{65}.$

Therefore, the correct answer is B.

1972 AMC 12 第 32 题

答案：B

难度评级：1890

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 32 题