Question

数 $2^{1000}$ 除以 $13$ 所得的余数为：

When the number $2^{1000}$ is divided by $13,$ the remainder in the division is:

$1$

$2$

$3$

$7$

$11$

答案：C

知识点：模运算模幂运算

难度评级：1740

小提示：

使用 $2^6\equiv-1\pmod{13}$

Use $2^6\equiv-1\pmod{13}$

大提示：

写成 $1000=6\cdot166+4$

Write $1000=6\cdot166+4$

解答：

因为 $2^6=64\equiv-1\pmod{13}$ ， $\begin{aligned} 2^{1000}&=2^{6\cdot166+4}\\ &\equiv(-1)^{166}2^4\\ &\equiv16\\ &\equiv3\pmod{13} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 C。

Since $2^6=64\equiv-1\pmod{13},$ $\begin{aligned} 2^{1000}&=2^{6\cdot166+4}\\ &\equiv(-1)^{166}2^4\\ &\equiv16\\ &\equiv3\pmod{13}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is C.

1972 AMC 12 第 31 题

答案：C

难度评级：1740

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 31 题