Question

在这幅未按比例绘制的图中，图形 $\mathrm{I}$ 和 $\mathrm{III}$ 是面积分别为 $32\sqrt3$ 与 $8\sqrt3$ 平方英寸的等边三角形区域。图形 $\mathrm{II}$ 是面积为 $32$ 平方英寸的正方形区域。将线段 $AD$ 的长度减少其自身的 $12\dfrac12\%$ ，而 $AB$ 与 $CD$ 的长度保持不变。正方形面积减少的百分比为：

In this diagram, not drawn to scale, figures $\mathrm{I}$ and $\mathrm{III}$ are equilateral triangular regions with respective areas of $32\sqrt3$ and $8\sqrt3$ square inches. Figure $\mathrm{II}$ is a square region with area $32$ square inches. Let the length of segment $AD$ be decreased by $12\dfrac12\%$ of itself, while the lengths of $AB$ and $CD$ remain unchanged. The percent decrease in the area of the square is:

$12\dfrac12$

$25$

$50$

$75$

$87\dfrac12$

答案：D

知识点：等边三角形正方形（几何）面积百分数

难度评级：1800

小提示：

根据三个已知面积求出边长 $AB$ 、 $BC$ 、 $CD$

Convert the three given areas into the side lengths $AB,$ $BC,$ $CD$

大提示：

$AD$ 的减少量全部来自正方形的边长

The decrease in $AD$ is absorbed entirely by the square’s side

解答：

由 $(\frac{\sqrt3}{4})s^2=32\sqrt3$ 得 $AB=8\sqrt2$ 。正方形的边长 $BC=4\sqrt2$ ，较小等边三角形的边长也有 $CD=4\sqrt2$ 。因此 $AD=16\sqrt2$ 。将它减少 $\frac{1}{8}$ ，会使 $BC$ 减少 $2\sqrt2$ ，其新长度为 $2\sqrt2$ 。正方形面积从 $32$ 降至 $8$ ，减少了 $75\%$ 。

因此，正确答案是 D。

From $(\frac{\sqrt3}{4})s^2=32\sqrt3,$ $AB=8\sqrt2.$ The square has $BC=4\sqrt2,$ and the smaller equilateral triangle also has $CD=4\sqrt2.$ Thus $AD=16\sqrt2.$ Decreasing it by $\frac{1}{8}$ removes $2\sqrt2$ from $BC,$ whose new length is $2\sqrt2.$ The square’s area falls from $32$ to $8,$ a $75\%$ decrease.

Therefore, the correct answer is D.

1968 AMC 12 第 31 题

答案：D

难度评级：1800

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 31 题