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1957 AMC 12 第 31 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

31.

从一个正方形的四个角剪去全等的等腰直角三角形，形成一个正八边形。若正方形的边长为一个单位，则每个小三角形的直角边长为：

A regular octagon is to be formed by cutting equal isosceles right triangles from the corners of a square. If the square has sides of one unit, the leg of each of the triangles has length:

2+23\dfrac{2+\sqrt2}{3}

2−22\dfrac{2-\sqrt2}{2}

1+22\dfrac{1+\sqrt2}{2}

1+23\dfrac{1+\sqrt2}{3}

2−23\dfrac{2-\sqrt2}{3}

答案：B
知识点：正多边形特殊直角三角形根式
难度评级：1630
小提示：

若每个被剪去三角形的直角边长为 xx，则八边形未被剪切的水平边长为 1−2x1-2x

If each cut-off leg is x,x, an uncut horizontal octagon side has length 1−2x1-2x

大提示：

八边形的一条斜边就是被剪去三角形的斜边，长为 x2x\sqrt2；正八边形要求这两种边长相等

A slanted octagon side is the hypotenuse x2x\sqrt2, and regularity makes these equal

解答：

设每个角上的小三角形直角边长为 xx。八边形的水平边和竖直边长为 1−2x1-2x，而四条斜边长为 x2x\sqrt2。因此 1−2x=x2， 1-2x=x\sqrt2\text{，}所以 x=12+2=2−22。 x=\frac1{2+\sqrt2}=\frac{2-\sqrt2}{2}\text{。}

因此，正确答案是 B。

Let xx be a leg of each corner triangle. The horizontal and vertical octagon sides have length 1−2x,1-2x, while the four slanted sides have length x2.x\sqrt2. Thus 1−2x=x2, 1-2x=x\sqrt2, so x=12+2=2−22. x=\frac1{2+\sqrt2}=\frac{2-\sqrt2}{2}.

Therefore, the correct answer is B.

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