Question

前 $n$ 个正整数的平方和可表示为 $\dfrac{n(n+c)(2n+k)}6$ 。则 $c$ 与 $k$ 依次为：

The sum of the squares of the first $n$ positive integers is given by the expression $\dfrac{n(n+c)(2n+k)}6,$ if $c$ and $k$ are, respectively:

$1$ 和 $2$

$1$ and $2$

$3$ 和 $5$

$3$ and $5$

$2$ 和 $2$

$2$ and $2$

$1$ 和 $1$

$1$ and $1$

$2$ 和 $1$

$2$ and $1$

将该式与标准平方和公式比较

Compare the expression with the standard sum-of-squares formula

也可以代入 $n=1$ 与 $n=2$ ，得到两个方程

Alternatively, substitute $n=1$ and $n=2$ to obtain two equations

标准公式为 $\begin{aligned} 1^2+2^2+\cdots+n^2 &=\frac{n(n+1)}6\\ &\quad\cdot(2n+1) \end{aligned}\text{。}$ 因此 $c=1$ ，且 $k=1$ 。

因此，正确答案是 D。

The standard formula is $\begin{aligned} 1^2+2^2+\cdots+n^2 &=\frac{n(n+1)}6\\ &\quad\cdot(2n+1). \end{aligned}$ Therefore $c=1$ and $k=1.$

Thus, the correct answer is D.