Question

联立方程组 $\begin{aligned} 2y&=x+\frac{17}{x},\\ 2z&=y+\frac{17}{y},\\ 2w&=z+\frac{17}{z},\\ 2x&=w+\frac{17}{w} \end{aligned}$ 的实数解 $(x,y,z,w)$ 的个数是

The number of real solutions $(x,y,z,w)$ of the simultaneous equations $\begin{aligned} 2y&=x+\frac{17}{x},\\ 2z&=y+\frac{17}{y},\\ 2w&=z+\frac{17}{z},\\ 2x&=w+\frac{17}{w}. \end{aligned}$ is

$1$

$2$

$4$

$8$

$16$

答案：B

知识点：cyclic system AM-GM inequality monotonicity sign symmetry

难度评级：2420

小提示：

这些方程迫使四个变量同号

The equations force all four variables to have the same sign

大提示：

对正数 $t$ ，研究 $f(t)=\frac{t+\frac{17}{t}}{2}$ 与 $\sqrt{17}$ 以及 $t$ 的大小关系

For positive $t,$ study $f(t)=\frac{t+\frac{17}{t}}{2}$ relative to $\sqrt{17}$ and to $t$

解答：

每个表达式 $t+\frac{17}{t}$ 都与 $t$ 同号，所以四个变量必定同号。先假设它们全为正数。由算术平均值与几何平均值不等式，每个变量都至少为 $\sqrt{17}$ 。当 $t\gt\sqrt{17}$ 时， $\frac{t+\frac{17}{t}}{2}\lt t\text{。}$ 如果任一变量大于 $\sqrt{17}$ ，这些方程就会导出不可能成立的严格循环不等式 $x\gt y\gt z\gt w\gt x$ 。所以唯一的正数解是 $x=y=z=w=\sqrt{17}\text{。}$ 将四个变量同时取相反数后方程组不变，因此恰好还有一个负数解，其中所有变量都等于 $-\sqrt{17}$ 。所以共有两个实数解。

因此正确答案是 B。

Each expression $t+\frac{17}{t}$ has the same sign as $t,$ so all four variables have the same sign. Suppose first that they are positive. By AM-GM, every variable is at least $\sqrt{17}.$ For $t\gt\sqrt{17},$ $\frac{t+\frac{17}{t}}{2}\lt t.$ If any variable exceeded $\sqrt{17},$ the equations would give the impossible strict cycle $x\gt y\gt z\gt w\gt x.$ Hence the only positive solution is $x=y=z=w=\sqrt{17}.$ Negating all four variables preserves the system, giving exactly one negative solution, with all variables equal to $-\sqrt{17}.$ Thus there are two real solutions.

Therefore the correct answer is B.

1986 AMC 12 第 30 题

答案：B

难度评级：2420

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 30 题