Question

有多少个不同的有序三元组 $(x,y,z)$ 满足方程组 $\begin{aligned} x+2y+4z&=12,\\ xy+4yz+2xz&=22,\\ xyz&=6 \end{aligned}\text{？}$

How many distinct ordered triples $(x,y,z)$ satisfy the equations $\begin{aligned} x+2y+4z&=12,\\ xy+4yz+2xz&=22,\\ xyz&=6? \end{aligned}$

没有

none

$1$

$2$

$4$

$6$

答案：E

知识点：对称性（代数）韦达定理排列

难度评级：2320

小提示：

令 $x=2u$ 、 $y=v$ 和 $z=\frac{w}{2}$ ，对变量作缩放

Rescale the variables by setting $x=2u,$ $y=v,$ and $z=\frac{w}{2}$

大提示：

新变量的三个基本对称和分别为 $6$ 、 $11$ 、 $6$

The new variables have elementary symmetric sums $6,$ $11,$ and $6$

解答：

令 $x=2u$ 、 $y=v$ 和 $z=\frac{w}{2}$ 。前两个方程都除以 $2$ ，得 $\begin{aligned} u+v+w&=6,\\ uv+vw+uw&=11 \end{aligned}\text{，}$ 而 $uvw=6$ 。因此 $u$ 、 $v$ 、 $w$ 是多项式 $p(t)=t^3-6t^2+11t-6$ 的三个根。该多项式分解为 $p(t)=(t-1)(t-2)(t-3)\text{，}$ 所以这三个数是按任意顺序排列的 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 。它们的 $3!=6$ 种排列产生 $6$ 个不同的有序三元组 $(x,y,z)$ 。

所以正确答案是 E。

Set $x=2u,$ $y=v,$ and $z=\frac{w}{2}.$ Dividing the first two equations by $2$ gives $\begin{aligned} u+v+w&=6,\\ uv+vw+uw&=11, \end{aligned}$ while $uvw=6.$ Thus $u,$ $v,$ and $w$ are the three roots of $p(t)=t^3-6t^2+11t-6.$ This polynomial factors as $p(t)=(t-1)(t-2)(t-3),$ so they are $1,$ $2,$ and $3$ in any order. Their $3!=6$ permutations produce $6$ distinct ordered triples $(x,y,z).$

Therefore, the correct answer is E.

1976 AMC 12 第 30 题

答案：E

难度评级：2320

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 30 题