Question

以直角三角形 $ABC$ 的边 $BC$ 为直径作圆，该圆与斜边 $AB$ 交于 $D$ 。过 $D$ 作圆的切线，与直角边 $CA$ 交于 $F$ 。这些信息不足以证明：

Let $BC$ of right triangle $ABC$ be the diameter of a circle intersecting hypotenuse $AB$ in $D.$ At $D$ a tangent is drawn cutting leg $CA$ in $F.$ This information is not sufficient to prove that:

$DF$ 平分 $CA$

$DF$ bisects $CA$

$DF$ 平分 $\angle CDA$

$DF$ bisects $\angle CDA$

$DF=FA$

$\angle A=\angle BCD$

$\angle CFD=2\angle A$

答案：B

知识点：切线直角三角形角平分线定理反例

难度评级：2290

小提示：

使用坐标 $C=(0,0), A=(a,0), B=(0,b)$

Use coordinates $C=(0,0), A=(a,0), B=(0,b)$

大提示：

切线与 $CA$ 交于其中点；用角平分线定理检验角平分线的结论

The tangent meets $CA$ at its midpoint; test the angle-bisector claim with the angle-bisector theorem

解答：

取 $C=(0,0),\ A=(a,0)$ ，和 $B=(0,b)$ 。 $AB$ 与以 $BC$ 为直径的圆的另一个交点为 $D=\left(\frac{ab^2}{a^2+b^2}, \frac{a^2b}{a^2+b^2}\right)\text{。}$ 圆在 $D$ 点的切线与 $CA$ 交于 $F=(\frac{a}{2},0)$ 。因此 $DF$ 平分 $CA$ ；又由从 $F$ 引出的切线段相等，有 $FC=FD=FA$ ，从而得到选项 C 和 E；圆及直角三角形中的角关系又能得到选项 D。

若 $DF$ 平分 $\angle CDA$ ，则在三角形 $CDA$ 中，由角平分线定理必须有 $\frac{CF}{FA}=\frac{CD}{DA}$ 。左边为 $1$ ，而 $\frac{CD}{DA}=\frac{ab}{a^2}=\frac ba\text{，}$ 它不一定等于 $1$ 。因此选项 B 无法由已知条件证明。

因此，正确答案是 B。

Put $C=(0,0),\ A=(a,0),$ and $B=(0,b).$ The second intersection of $AB$ with the circle of diameter $BC$ is $D=\left(\frac{ab^2}{a^2+b^2}, \frac{a^2b}{a^2+b^2}\right).$ The tangent at $D$ meets $CA$ at $F=(\frac{a}{2},0).$ Hence $DF$ bisects $CA;$ also $FC=FD=FA$ by equal tangents from $F,$ which supplies choices C and E, and the circle/right-triangle angles supply choice D.

If $DF$ bisected $\angle CDA,$ the angle-bisector theorem in triangle $CDA$ would require $\frac{CF}{FA}=\frac{CD}{DA}.$ The left side is $1,$ while $\frac{CD}{DA}=\frac{ab}{a^2}=\frac ba,$ which need not be $1.$ Thus choice B is not provable.

Therefore, the correct answer is B.

1965 AMC 12 第 30 题

答案：B

难度评级：2290

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 30 题