Question

设 $\lfloor x\rfloor$ 为小于或等于 $x$ 的最大整数。则方程 $4x^2-40\lfloor x\rfloor+51=0$ 的实数解个数为

Let $\lfloor x\rfloor$ be the greatest integer less than or equal to $x.$ Then the number of real solutions to $4x^2-40\lfloor x\rfloor+51=0$ is

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

答案：E

知识点：分类讨论取整函数不等式二次方程

难度评级：2380

小提示：

令 $n=\lfloor x\rfloor$ ，并由方程解出 $x^2$

Set $n=\lfloor x\rfloor$ and solve the equation for $x^2$

大提示：

施加 $n\le x\lt n+1$ ，确定哪些整数 $n$ 可行

Enforce $n\le x\lt n+1$ to determine which integer values of $n$ work

解答：

令 $n=\lfloor x\rfloor$ 。解必须为正，并满足 $\begin{aligned} x&=\sqrt{10n-\frac{51}{4}},\\ n&\le x\lt n+1\text{。} \end{aligned}$ 下界不等式等价于 $4n^2-40n+51\le0\text{，}$ 所以 $n=2,3,\ldots,8$ 。上界不等式等价于 $4n^2-32n+55\gt0\text{。}$ 在 $2,\ldots,8$ 中，它恰对 $n=2,6,7,8$ 成立。每个区间贡献一个根，所以共有四个实数解。

因此正确答案是 E。

Let $n=\lfloor x\rfloor.$ A solution must be positive and satisfy $\begin{aligned} x&=\sqrt{10n-\frac{51}{4}},\\ n&\le x\lt n+1. \end{aligned}$ The lower inequality is equivalent to $4n^2-40n+51\le0,$ so $n=2,3,\ldots,8.$ The upper inequality is equivalent to $4n^2-32n+55\gt0.$ Among $2,\ldots,8,$ this holds exactly for $n=2,6,7,8.$ Each interval contributes one root, so there are four real solutions.

Therefore the correct answer is E.

1985 AMC 12 第 30 题

答案：E

难度评级：2380

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 30 题