Question

正九边形的一条边、最短对角线和最长对角线的长度分别为 $a$ 、 $b$ 、 $d$ （见附图），则

If $a,$ $b$ and $d$ are the lengths of a side, a shortest diagonal and a longest diagonal, respectively, of a regular nonagon (see adjoining figure), then

$d=a+b$

$d^2=a^2+b^2$

$d^2=a^2+ab+b^2$

$b=\frac{a+d}{2}$

$b^2=ad$

答案：A

知识点：正多边形弦三角恒等式

难度评级：2300

小提示：

用正九边形的外接圆半径表示这三条弦的长度

Write the three chord lengths using the nonagon’s circumradius

大提示：

利用和差化积公式比较 $\sin20^\circ+\sin40^\circ$ 与 $\sin80^\circ$

Compare $\sin20^\circ+\sin40^\circ$ with $\sin80^\circ$ using the sum-to-product identity

解答：

若外接圆半径为 $r$ ，则三条弦所对的圆心角分别为 $40^\circ$ 、 $80^\circ$ 、 $160^\circ$ 。因此 $\begin{aligned} a&=2r\sin20^\circ,\\ b&=2r\sin40^\circ,\\ d&=2r\sin80^\circ \end{aligned}\text{。}$ 由和差化积公式， $\begin{gathered} \sin20^\circ+\sin40^\circ\\ =2\sin30^\circ\cos10^\circ\\ =\cos10^\circ=\sin80^\circ \end{gathered}\text{。}$ 两边乘以 $2r$ ，得到 $a+b=d$ 。

因此，正确答案是 A。

If the circumradius is $r,$ the three chords subtend central angles $40^\circ,$ $80^\circ,$ $160^\circ,$ respectively. Thus $\begin{aligned} a&=2r\sin20^\circ,\\ b&=2r\sin40^\circ,\\ d&=2r\sin80^\circ. \end{aligned}$ The sum-to-product identity gives $\begin{gathered} \sin20^\circ+\sin40^\circ\\ =2\sin30^\circ\cos10^\circ\\ =\cos10^\circ=\sin80^\circ. \end{gathered}$ Multiplying by $2r$ yields $a+b=d.$

Therefore, the correct answer is A.

1977 AMC 12 第 30 题

答案：A

难度评级：2300

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 30 题