Question

下列整数中，能整除数列 $1^5-1$ 、 $2^5-2$ 、 $3^5-3$ 、 $\ldots$ 、 $n^5-n$ 、 $\ldots$ 每一项的最大整数是：

The largest of the following integers which divides each of the numbers of the sequence $1^5-1,$ $2^5-2,$ $3^5-3,$ $\ldots$ $n^5-n,$ $\ldots$ is:

$1$

$60$

$15$

$120$

$30$

答案：E

知识点：整除性模运算费马小定理

难度评级：1790

小提示：

证明 $n^5-n$ 总能被 $2$ 、 $3$ 和 $5$ 整除

Show $n^5-n$ is always divisible by $2,$ $3,$ and $5$

大提示：

利用连续因子处理 $2$ 与 $3$ ，再用模 $5$ 的余数处理剩余因子

Use consecutive factors for $2$ and $3,$ and residues modulo $5$ for the remaining factor

解答：

因式分解得 $\begin{aligned} n^5-n &=n(n-1)(n+1)\\ &\quad\cdot(n^2+1) \end{aligned}\text{。}$ 三个连续整数中有一个能被 $3$ 整除，且至少有一个是偶数，所以该式能被 $6$ 整除。又因为对每个整数 $n$ 都有 $n^5\equiv n\pmod5$ ，所以它也能被 $5$ 整除。因此每一项都能被 $30$ 整除。取 $n=2$ 时， $2^5-2=30$ ，所以选项中没有更大的整数能整除每一项。

因此，正确答案是 E。

Factor $\begin{aligned} n^5-n &=n(n-1)(n+1)\\ &\quad\cdot(n^2+1). \end{aligned}$ Among three consecutive integers, one is divisible by $3$ and at least one is even, so the expression is divisible by $6.$ Also $n^5\equiv n\pmod5$ for every integer $n,$ so it is divisible by $5.$ Hence every term is divisible by $30.$ Taking $n=2$ gives $2^5-2=30,$ so no larger listed integer can divide every term.

Thus, the correct answer is E.

1957 AMC 12 第 32 题

答案：E

难度评级：1790

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 32 题