Question

若 $\begin{aligned} s={}&(1+2^{-\frac{1}{32}})(1+2^{-\frac{1}{16}})\\ &\cdot(1+2^{-\frac{1}{8}})(1+2^{-\frac{1}{4}})\\ &\cdot(1+2^{-\frac{1}{2}})\text{，} \end{aligned}$ 则 $s$ 等于：

If $\begin{aligned} s={}&(1+2^{-\frac{1}{32}})(1+2^{-\frac{1}{16}})\\ &\cdot(1+2^{-\frac{1}{8}})(1+2^{-\frac{1}{4}})\\ &\cdot(1+2^{-\frac{1}{2}}), \end{aligned}$ then $s$ is equal to:

$\dfrac12(1-2^{-\frac{1}{32}})^{-1}$

$(1-2^{-\frac{1}{32}})^{-1}$

$1-2^{-\frac{1}{32}}$

$\dfrac12(1-2^{-\frac{1}{32}})$

$\frac{1}{2}$

答案：A

知识点：平方差裂项相消指数

难度评级：2210

小提示：

令 $x=2^{-\frac{1}{32}}$

Set $x=2^{-\frac{1}{32}}$

大提示：

从因子 $1+x^{16}$ 开始，反复应用平方差公式

Apply the difference-of-squares identity repeatedly through the factor $1+x^{16}$

解答：

令 $x=2^{-\frac{1}{32}}$ 。则 $\begin{aligned} (1-x)s&=1-x^{32}\\ &=1-\frac12=\frac12\text{。} \end{aligned}$ 因此 $s=\frac12(1-2^{-\frac{1}{32}})^{-1}\text{。}$

因此，正确答案为 A。

Let $x=2^{-\frac{1}{32}}.$ Then $\begin{aligned} (1-x)s&=1-x^{32}\\ &=1-\frac12=\frac12. \end{aligned}$ Therefore $s=\frac12(1-2^{-\frac{1}{32}})^{-1}.$

Therefore, the correct answer is A.

1971 AMC 12 第 32 题

答案：A

难度评级：2210

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 32 题