Question

矩形 $R$ 的边长为 $a$ 和 $b$ ，其中 $a\lt b$ 。现要得到一个边长为 $x$ 和 $y$ 的矩形，其中 $x\lt a$ 、 $y\lt a$ ，使它的周长是 $R$ 的三分之一，面积也是 $R$ 的三分之一。这样的不同矩形共有：

The dimensions of a rectangle $R$ are $a$ and $b,$ $a\lt b.$ It is required to obtain a rectangle with dimensions $x$ and $y,$ $x\lt a,$ $y\lt a,$ so that its perimeter is one-third that of $R,$ and its area is one-third that of $R.$ The number of such (different) rectangles is:

$0$

$1$

$2$

$4$

无穷多个

infinitely many

答案：A

知识点：矩形不等式代数变形

难度评级：1990

小提示：

把条件写成 $3(x+y)=a+b$ 和 $3xy=ab$

Translate the conditions into $3(x+y)=a+b$ and $3xy=ab$

大提示：

用和式除以积式，再利用 $x\lt a$ 、 $y\lt a$ 和 $a\lt b$ 比较倒数

Divide the sum equation by the product equation and compare reciprocals using $x\lt a,$ $y\lt a,$ and $a\lt b$

解答：

这些条件给出 $3(x+y)=a+b$ 和 $3xy=ab$ 。相除得到 $\frac1x+\frac1y=\frac1a+\frac1b\text{。}$ 但是 $x\lt a$ 且 $y\lt a$ 使左边大于 $\frac{2}{a}$ ，而 $a\lt b$ 使右边小于 $\frac{2}{a}$ 。这不可能成立。

所以正确答案是 A。

The conditions give $3(x+y)=a+b$ and $3xy=ab.$ Dividing yields $\frac1x+\frac1y=\frac1a+\frac1b.$ But $x\lt a$ and $y\lt a$ make the left side greater than $\frac{2}{a},$ while $a\lt b$ makes the right side less than $\frac{2}{a}.$ This is impossible.

Thus, the correct answer is A.

1963 AMC 12 第 32 题

答案：A

难度评级：1990

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 32 题