Question

若对 $k=1$ 、 $2$ 、 $\ldots$ 、 $n-1$ ，有 $x_{k+1}=x_k+\dfrac12$ ，且 $x_1=1$ ，求 $x_1+x_2+\cdots+x_n$ 。

If $x_{k+1}=x_k+\dfrac12$ for $k=1,$ $2,$ $\ldots,$ $n-1$ and $x_1=1,$ find $x_1+x_2+\cdots+x_n.$

$\dfrac{n+1}{2}$

$\dfrac{n+3}{2}$

$\dfrac{n^2-1}{2}$

$\dfrac{n^2+n}{4}$

$\dfrac{n^2+3n}{4}$

答案：E

知识点：等差数列求和

难度评级：1440

小提示：

该递推关系定义了公差为 $\frac{1}{2}$ 的等差数列

The recurrence defines an arithmetic sequence with common difference $\frac{1}{2}$

大提示：

先求 $x_n$ ，再使用 $\frac{n(x_1+x_n)}{2}$

Find $x_n$ , then use $\frac{n(x_1+x_n)}{2}$

解答：

有 $x_n=1+\frac{n-1}{2}=\frac{n+1}{2}$ 。因此 $\begin{aligned} x_1+\cdots+x_n &=\frac n2\left(1+\frac{n+1}{2}\right)\\ &=\frac{n^2+3n}{4} \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 E。

We have $x_n=1+\frac{n-1}{2}=\frac{n+1}{2}.$ Therefore $\begin{aligned} x_1+\cdots+x_n &=\frac n2\left(1+\frac{n+1}{2}\right)\\ &=\frac{n^2+3n}{4}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

1962 AMC 12 第 32 题

答案：E

难度评级：1440

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 32 题