Question

设 $M$ 为三角形 $ABC$ 的边 $AB$ 的中点。点 $P$ 位于 $AB$ 上的 $A$ 与 $M$ 之间，过该中点作 $MD$ 平行于 $PC$ ，并与 $BC$ 交于 $D$ 。若三角形 $BPD$ 与三角形 $ABC$ 的面积之比记为 $r$ ，则：

Let $M$ be the midpoint of side $AB$ of triangle $ABC.$ Let $P$ be a point on $AB$ between $A$ and $M,$ and let $MD$ be drawn parallel to $PC$ and intersecting $BC$ at $D.$ If the ratio of the area of triangle $BPD$ to that of triangle $ABC$ is denoted by $r,$ then:

$\dfrac12\lt r\lt1$ ，取决于 $P$ 的位置

$\dfrac12\lt r\lt1$ depending upon the position of $P$

$r=\dfrac12$ ，与 $P$ 的位置无关

$r=\dfrac12$ independent of the position of $P$

$\dfrac12\leq r\lt1$ ，取决于 $P$ 的位置

$\dfrac12\leq r\lt1$ depending upon the position of $P$

$\dfrac13\lt r\lt\dfrac23$ ，取决于 $P$ 的位置

$\dfrac13\lt r\lt\dfrac23$ depending upon the position of $P$

$r=\dfrac13$ ，与 $P$ 的位置无关

$r=\dfrac13$ independent of the position of $P$

答案：B

知识点：面积比中线（几何）平行线

难度评级：1650

小提示：

三角形 $MDP$ 与 $MDC$ 同底，且另两顶点位于平行线上

Triangles $MDP$ and $MDC$ have equal bases on parallel lines

大提示：

分别将它们的面积加到 $[BMD]$ 上，再利用 $CM$ 是中线

Add their areas to $[BMD]$ and use that $CM$ is a median

解答：

因为 $MD\parallel PC$ ，三角形 $MDP$ 与 $MDC$ 的底边同为 $MD$ ，且高相等，所以它们的面积相等。因此 $\begin{aligned} [BPD] &=[BMD]+[MDP]\\ &=[BMD]+[MDC]\\ &=[BMC] \end{aligned}\text{。}$ 因为 $CM$ 是中线，所以 $[BMC]=\frac{[ABC]}{2}$ 。因此对于每个符合条件的 $P$ ，都有 $r=\frac{1}{2}$ 。

因此，正确答案是 B。

Since $MD\parallel PC,$ triangles $MDP$ and $MDC$ have the same base $MD$ and equal altitudes, so their areas are equal. Hence $\begin{aligned} [BPD] &=[BMD]+[MDP]\\ &=[BMD]+[MDC]\\ &=[BMC]. \end{aligned}$ Because $CM$ is a median, $[BMC]=\frac{[ABC]}{2}.$ Thus $r=\frac{1}{2}$ for every allowed $P.$

Therefore, the correct answer is B.

1966 AMC 12 第 32 题

答案：B

难度评级：1650

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 32 题