Question

若 $\triangle ABC$ 内接于以 $\overline{AB}$ 为直径的半圆，则 $\overline{AC}+\overline{BC}$ 必须：

If $\triangle ABC$ is inscribed in a semicircle whose diameter is $\overline{AB},$ then $\overline{AC}+\overline{BC}$ must be:

等于 $\overline{AB}$

Equal to $\overline{AB}$

等于 $\overline{AB}\sqrt2$

Equal to $\overline{AB}\sqrt2$

$\ge \overline{AB}\sqrt2$

$\le \overline{AB}\sqrt2$

$\overline{AB}^{\,2}$

答案：D

知识点：直角三角形柯西-施瓦茨不等式

难度评级：1610

小提示：

直径所对的圆周角是直角

The angle subtending the diameter is a right angle

大提示：

对两条直角边 $a,b$ ，比较 $(a+b)^2$ 与 $2(a^2+b^2)$

For legs $a,b$ , compare $(a+b)^2$ with $2(a^2+b^2)$

解答：

由泰勒斯定理， $AC$ 和 $BC$ 是以 $AB$ 为斜边的直角三角形的两条直角边。因此 $\begin{aligned} (AC+BC)^2 &\le2(AC^2+BC^2)\\ &=2AB^2 \end{aligned}\text{。}$ 两边取正平方根，得到 $AC+BC\le AB\sqrt2$ ；当三角形为等腰直角三角形时取等号。

因此，正确答案是 D。

By Thales’ theorem, $AC$ and $BC$ are the legs of a right triangle with hypotenuse $AB.$ Therefore $\begin{aligned} (AC+BC)^2 &\le2(AC^2+BC^2)\\ &=2AB^2. \end{aligned}$ Taking positive square roots gives $AC+BC\le AB\sqrt2,$ with equality for an isosceles right triangle.

Thus, the correct answer is D.

1951 AMC 12 第 32 题

答案：D

难度评级：1610

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 32 题