Question

一位牧场主用 $\$1000$ 购买每头 $\$25$ 的阉牛和每头 $\$26$ 的母牛。若阉牛数 $s$ 和母牛数 $c$ 都是正整数，则：

With $\$1000$ a rancher is to buy steers at $\$25$ each and cows at $\$26$ each. If the number of steers $s$ and the number of cows $c$ are both positive integers, then:

此题无解

this problem has no solution

有两个满足 $s$ 大于 $c$ 的解

there are two solutions with $s$ exceeding $c$

有两个满足 $c$ 大于 $s$ 的解

there are two solutions with $c$ exceeding $s$

有一个满足 $s$ 大于 $c$ 的解

there is one solution with $s$ exceeding $c$

有一个满足 $c$ 大于 $s$ 的解

there is one solution with $c$ exceeding $s$

答案：E

知识点：丢番图方程模运算极限情形界定

难度评级：1630

小提示：

写出 $25s+26c=1000$ ，并对 $25$ 取模

Write $25s+26c=1000$ and reduce it modulo $25$

大提示：

同余条件和正数条件使 $c$ 只有一个可能的正值

The congruence and positivity leave only one possible positive value of $c$

解答：

购买方程为 $25s+26c=1000\text{。}$ 对 $25$ 取模得 $c\equiv0\pmod{25}$ 。由于 $c$ 为正且 $26c<1000$ ，唯一可能是 $c=25$ 。于是 $s=\frac{1000-26(25)}{25}=14\text{。}$ 只有一个解，并且 $c>s$ 。

所以正确答案为 E。

The purchase equation is $25s+26c=1000.$ Reducing modulo $25$ gives $c\equiv0\pmod{25}.$ Since $c$ is positive and $26c<1000,$ the only possibility is $c=25.$ Then $s=\frac{1000-26(25)}{25}=14.$ There is one solution, and $c>s.$

Thus, the correct answer is E.

1958 AMC 12 第 32 题

答案：E

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 32 题