Question

从点 $A$ 向一个圆所作切线段长 $l$ 是半径 $r$ 的 $\dfrac43$ 。点 $A$ 到该圆的最短距离为：

The length $l$ of a tangent, drawn from a point $A$ to a circle, is $\dfrac43$ of the radius $r.$ The (shortest) distance from $A$ to the circle is:

$\dfrac12r$

$r$

$\dfrac12l$

$\dfrac23l$

介于 $r$ 与 $l$ 之间的一个值

a value between $r$ and $l$

答案：C

知识点：切线直角三角形圆

难度评级：1280

小提示：

连接 $A$ 与圆心及切点

Join $A$ to the center and to the point of tangency

大提示：

利用两直角边为 $r$ 和 $l=\frac{4r}{3}$ 的直角三角形

Use the right triangle with legs $r$ and $l=\frac{4r}{3}$

解答：

若 $O$ 为圆心， $T$ 为切点，则 $OT\perp AT$ 。因此 $\begin{aligned} AO &=\sqrt{r^2+l^2}\\ &=\sqrt{r^2+\frac{16r^2}{9}}\\ &=\frac{5r}{3} \end{aligned}\text{。}$ 点 $A$ 到圆的最短距离为 $AO-r=\frac{2r}{3}$ 。由于 $l=\frac{4r}{3}$ ，此距离等于 $\frac{l}{2}$ 。

因此，正确答案是 C。

If $O$ is the center and $T$ the point of tangency, then $OT\perp AT.$ Hence $\begin{aligned} AO &=\sqrt{r^2+l^2}\\ &=\sqrt{r^2+\frac{16r^2}{9}}\\ &=\frac{5r}{3}. \end{aligned}$ The shortest distance from $A$ to the circle is $AO-r=\frac{2r}{3}.$ Since $l=\frac{4r}{3},$ this distance equals $\frac{l}{2}.$

Therefore, the correct answer is C.

1959 AMC 12 第 32 题

答案：C

难度评级：1280

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 32 题