Question

一个面积为 $40$ 的正方形内接于半圆。若在同一半径的整圆中内接一个正方形，则其面积为：

A square, with an area of $40,$ is inscribed in a semicircle. The area of a square that could be inscribed in the entire circle with the same radius is:

$80$

$100$

$120$

$160$

$200$

答案：B

知识点：圆正方形（几何）勾股定理

难度评级：1360

小提示：

设第一个正方形边长为 $s$ ，并将其下边放在半圆直径上

Let the first square have side $s$ and place its lower side on the semicircle’s diameter

大提示：

相对于圆心，一个上顶点的横坐标为 $\frac{s}{2}$ ，纵坐标为 $s$

A top vertex has horizontal coordinate $\frac{s}{2}$ and vertical coordinate $s$ relative to the center

解答：

设半圆半径为 $r$ ，正方形边长为 $s$ ，其中 $s^2=40$ 。正方形一个上顶点相对圆心的水平距离为 $\frac{s}{2}$ ，竖直距离为 $s$ ，所以 $r^2=s^2+\left(\frac s2\right)^2=\frac54s^2=50\text{。}$ 内接于整圆的正方形对角线长为 $2r$ ，故面积为 $2r^2=100$ 。

因此，正确答案是 B。

Let the semicircle have radius $r$ and the square have side $s,$ where $s^2=40.$ A top vertex of the square is $\frac{s}{2}$ horizontally and $s$ vertically from the center, so $r^2=s^2+\left(\frac s2\right)^2=\frac54s^2=50.$ A square inscribed in the full circle has diagonal $2r,$ hence area $2r^2=100.$

Thus, the correct answer is B.

1959 AMC 12 第 31 题

答案：B

难度评级：1360

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 31 题