Question

从所有数位和等于 $43$ 的五位数中随机选取一个数。这个数能被 $11$ 整除的概率是多少？

If a number is selected at random from the set of all five-digit numbers in which the sum of the digits is equal to $43,$ what is the probability that this number will be divisible by $11?$

$\frac{2}{5}$

$\frac{1}{5}$

$\frac{1}{6}$

$\frac{1}{11}$

$\frac{1}{15}$

答案：B

知识点：数字整除性基本计数基本概率

难度评级：2300

小提示：

从 $99999$ 出发；数位和为 $43$ 意味着总共减少 $2$

Start from $99999$ ; a digit sum of $43$ means a total deficit of $2$

大提示：

可能情况是出现一个 $7$ 或两个 $8$ ；应用 $11$ 的交错和整除判别法

The possibilities are one $7$ or two $8$ s; apply the divisibility-by- $11$ alternating-sum test

解答：

五位数最大的数位和为 $45$ ，所以数位和为 $43$ 的数相对于 $99999$ 总共减少 $2$ 。一种情况是一个数位为 $7$ ，其余数位为 $9$ ，共有 $5$ 个数；另一种情况是两个数位为 $8$ ，其余数位为 $9$ ，共有 $\binom52=10$ 个数。因此总共有 $15$ 个数。

利用 $11$ 的整除判别法，恰有 $97999,\qquad 99979,\qquad 98989$ 能被 $11$ 整除。因此概率为 $\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$ 。

因此，正确答案是 B。

The maximum five-digit digit sum is $45,$ so a sum of $43$ has total deficit $2$ from $99999.$ Either one digit is $7$ and the others are $9$ , giving $5$ numbers, or two digits are $8$ and the others are $9$ , giving $\binom52=10$ numbers. Thus there are $15$ numbers total.

Using the divisibility-by- $11$ test, exactly $97999,\qquad 99979,\qquad 98989$ are divisible by $11.$ The probability is therefore $\frac{3}{15}=\frac{1}{5}.$

Therefore, the correct answer is B.

1970 AMC 12 第 31 题

答案：B

难度评级：2300

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 31 题