Question

三角形 $ABC$ 内接于圆心为 $O'$ 的圆。圆心为 $O$ 的圆内切于三角形 $ABC$ 。作 $AO$ ，并延长至与大圆交于 $D$ 。则必有：

Triangle $ABC$ is inscribed in a circle with center $O'.$ A circle with center $O$ is inscribed in triangle $ABC.$ $AO$ is drawn, and extended to intersect the larger circle in $D.$ Then we must have:

$CD=BD=O'D$

$AO=CO=OD$

$CD=CO=BD$

$CD=OD=BD$

$O'B=O'C=OD$

答案：D

知识点：导角外接圆、外心与外接圆半径内切圆、内心与内切圆半径

难度评级：1880

小提示：

直线 $AD$ 平分 $\angle A$ ，所以 $D$ 是弧 $BC$ 的中点

Line $AD$ bisects $\angle A,$ so $D$ is the midpoint of arc $BC$

大提示：

比较三角形 $COD$ 中的角，证明 $CD=OD$

Compare angles in triangle $COD$ to show $CD=OD$

解答：

因为 $AO$ 是角平分线，所以圆周角 $\angle BAD$ 与 $\angle CAD$ 相等。因此弧 $BD$ 与 $CD$ 相等，从而弦 $BD$ 与 $CD$ 相等。

设 $\angle BAD=\alpha$ ，且 $\angle BCO=\beta$ 。则 $\angle OCD=\alpha+\beta$ 。在三角形 $AOC$ 中，外角 $\angle COD$ 也等于 $\alpha+\beta$ 。因此 $CD=OD$ ，所以 $CD=OD=BD$ 。

因此，正确答案是 D。

Because $AO$ is an angle bisector, the inscribed angles $\angle BAD$ and $\angle CAD$ are equal. Hence arcs $BD$ and $CD$ , and therefore chords $BD$ and $CD,$ are equal.

Let $\angle BAD=\alpha$ and $\angle BCO=\beta.$ Then $\angle OCD=\alpha+\beta.$ In triangle $AOC,$ the exterior angle $\angle COD$ also equals $\alpha+\beta.$ Thus $CD=OD,$ so $CD=OD=BD.$

Therefore, the correct answer is D.

1966 AMC 12 第 31 题

答案：D

难度评级：1880

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 31 题