考虑下列等式： (I) √a^2+b^2=0 (II) √a^2+b^2=ab (III) √a^2+b^2=a+b (IV) √a^2+b^2=a-b 其中允许 a 与 b 为实数或复数。除 a=0 且 b=0 外仍存在解的等式是：

(A) (\mathrmI) ， (\mathrmII) ， (\mathrmIII) ， (\mathrmIV)

(B) 仅 (\mathrmII) ， (\mathrmIII) ， (\mathrmIV)

(C) 仅 (\mathrmI) ， (\mathrmIII) ， (\mathrmIV)

(D) 仅 (\mathrmIII) ， (\mathrmIV)

若 \log_MN=\log_NM 、 M≠ N 、 MN\gt0 ，且 M\ne1 、 N\ne1 ，则 MN 等于：

(E) 大于 2 且小于 10 的数

1966 AMC 12 真题与在线限时测验

计时

1:15:00

1.

已知 $3x-4$ 与 $y+15$ 之比为常数，且当 $x=2$ 时 $y=3$ 。那么，当 $y=12$ 时， $x$ 等于：

Given that the ratio of $3x-4$ to $y+15$ is constant, and $y=3$ when $x=2,$ then, when $y=12,$ $x$ equals:

$\dfrac18$

$\dfrac87$

$\dfrac73$

$\dfrac72$

$8$

答案：C

知识点：一次方程比与比例

难度评级：960

小提示：

利用 $x=2$ 、 $y=3$ 求出这个固定比值

Use $x=2$ and $y=3$ to find the constant ratio

大提示：

当 $y=12$ 时，令 $\frac{3x-4}{y+15}$ 等于该比值

Keep $\frac{3x-4}{y+15}$ equal to that ratio when $y=12$

解答：

由所给数对可得该比值为 $\frac{3\cdot2-4}{3+15}=\frac{1}{9}$ 。因此，当 $y=12$ 时， $\frac{3x-4}{27}=\frac19\text{，}$ 所以 $3x-4=3$ ，且 $x=\frac{7}{3}$ 。

因此，正确答案是 C。

The given pair makes the ratio $\frac{3\cdot2-4}{3+15}=\frac{1}{9}.$ Therefore, when $y=12,$ $\frac{3x-4}{27}=\frac19,$ so $3x-4=3$ and $x=\frac{7}{3}.$

Therefore, the correct answer is C.

2.

若三角形的底边增加 $10\%$ ，而这条底边上的高减少 $10\%$ ，则面积的变化为：

When the base of a triangle is increased $10\%$ and the altitude to this base is decreased $10\%,$ the change in area is:

增加 $1\%$

$1\%$ increase

增加 $\dfrac12\%$

$\dfrac12\%$ increase

$0\%$

减少 $\dfrac12\%$

$\dfrac12\%$ decrease

减少 $1\%$

$1\%$ decrease

答案：E

知识点：百分数三角形面积

难度评级：890

小提示：

面积与底和高的乘积成正比

The area is proportional to the product of base and altitude

大提示：

将两个缩放因子 $1.1$ 与 $0.9$ 相乘

Multiply the scale factors $1.1$ and $0.9$

解答：

新面积是原面积的 $1.1\cdot0.9=0.99$ 倍。因此，它比原面积小 $1\%$ 。

因此，正确答案是 E。

The new area is $1.1\cdot0.9=0.99$ times the old area. It is therefore $1\%$ smaller.

Thus, the correct answer is E.

3.

若两个数的算术平均数为 $6$ ，几何平均数为 $10$ ，则以这两个数为根的一个方程是：

If the arithmetic mean of two numbers is $6$ and their geometric mean is $10,$ then an equation with the given two numbers as roots is:

$x^2+12x+100=0$

$x^2+6x+100=0$

$x^2-12x-10=0$

$x^2-12x+100=0$

$x^2-6x+100=0$

答案：D

知识点：平均数韦达定理

难度评级：1180

小提示：

这两个数的和为 $12$ ，积为 $100$

The two numbers have sum $12$ and product $100$

大提示：

和为 $S$ 、积为 $P$ 的两个根满足 $x^2-Sx+P=0$

Roots with sum $S$ and product $P$ satisfy $x^2-Sx+P=0$

解答：

设这两个数为 $r$ 、 $s$ ，则由 $\frac{r+s}{2}=6$ 得 $r+s=12$ ，而由 $\sqrt{rs}=10$ 得 $rs=100$ 。以它们为根的首一方程为 $x^2-(r+s)x+rs=0$ ，即 $x^2-12x+100=0$ 。

因此，正确答案是 D。

If the numbers are $r,$ and $s,$ then $\frac{r+s}{2}=6$ gives $r+s=12,$ while $\sqrt{rs}=10$ gives $rs=100.$ The monic equation with those roots is $x^2-(r+s)x+rs=0,$ or $x^2-12x+100=0.$

Therefore, the correct answer is D.

4.

圆 $\mathrm{I}$ 外接于一个给定的正方形，圆 $\mathrm{II}$ 内切于该正方形。若 $r$ 是圆 $\mathrm{I}$ 与圆 $\mathrm{II}$ 的面积之比，则 $r$ 等于：

Circle $\mathrm{I}$ is circumscribed about a given square and circle $\mathrm{II}$ is inscribed in the given square. If $r$ is the ratio of the area of circle $\mathrm{I}$ to that of circle $\mathrm{II},$ then $r$ equals:

$\sqrt2$

$2$

$\sqrt3$

$2\sqrt2$

$2\sqrt3$

答案：B

知识点：面积比圆面积正方形（几何）

难度评级：1030

小提示：

设正方形边长为 $s$ ，比较两个半径 $\frac{s}{\sqrt2}$ 与 $\frac{s}{2}$

For square side $s,$ compare radii $\frac{s}{\sqrt2}$ and $\frac{s}{2}$

大提示：

圆的面积与半径的平方成正比

Circle areas are proportional to the squares of their radii

解答：

设正方形边长为 $s$ ，则外接圆半径为 $\frac{s}{\sqrt2}$ ，内切圆半径为 $\frac{s}{2}$ 。因此 $r=\frac{\pi(\frac{s}{\sqrt2})^2}{\pi(\frac{s}{2})^2}=2\text{。}$

因此，正确答案是 B。

For square side $s,$ the outer circle has radius $\frac{s}{\sqrt2},$ while the inner circle has radius $\frac{s}{2}.$ Hence $r=\frac{\pi(\frac{s}{\sqrt2})^2}{\pi(\frac{s}{2})^2}=2.$

Therefore, the correct answer is B.

5.

满足方程的 $x$ 值的个数

$\frac{2x^2-10x}{x^2-5x}=x-3$

为：

The number of values of $x$ satisfying the equation

$\frac{2x^2-10x}{x^2-5x}=x-3$

is:

零

zero

一

one

二

two

三

three

大于 $3$ 的整数

an integer greater than $3$

答案：A

知识点：因式分解分式方程

难度评级：1320

小提示：

求解前先将分子和分母因式分解

Factor numerator and denominator before solving

大提示：

不能接受使原式分母为零的值

Do not admit values that make the original denominator zero

解答：

分母要求 $x\ne0$ 且 $x\ne5$ 。在这个定义域内， $\frac{2x(x-5)}{x(x-5)}=2\text{。}$ 剩下的方程 $2=x-3$ 给出 $x=5$ ，但该值已被排除。因此无解。

因此，正确答案是 A。

The denominator requires $x\ne0$ and $x\ne5.$ On that domain, $\frac{2x(x-5)}{x(x-5)}=2.$ The remaining equation $2=x-3$ gives $x=5,$ which is excluded. Thus there are no solutions.

Therefore, the correct answer is A.

6.

$AB$ 是一个圆的直径，圆心为 $O$ 。点 $C$ 在圆上，且角 $BOC$ 为 $60^\circ$ 。若圆的直径为 $5$ 英寸，则弦 $AC$ 的长度（单位：英寸）为：

$AB$ is a diameter of a circle centered at $O.$ $C$ is a point on the circle such that angle $BOC$ is $60^\circ.$ If the diameter of the circle is $5$ inches, the length of chord $AC,$ expressed in inches, is:

$3$

$\dfrac{5\sqrt2}{2}$

$\dfrac{5\sqrt3}{2}$

$3\sqrt3$

以上均不是

none of these

答案：C

知识点：弦特殊直角三角形

难度评级：1110

小提示：

因为 $AB$ 是直径，所以 $\angle AOC=120^\circ$

Because $AB$ is a diameter, $\angle AOC=120^\circ$

大提示：

将等腰三角形 $AOC$ 分成两个 $30$ - $60$ - $90$ 三角形

Split isosceles triangle $AOC$ into two $30$ - $60$ - $90$ triangles

解答：

半径为 $\frac{5}{2}$ ，且 $\angle AOC=180^\circ-60^\circ=120^\circ$ 。所对圆心角为 $120^\circ$ 的弦长为 $2\left(\frac52\right)\sin60^\circ=\frac{5\sqrt3}{2}\text{。}$

因此，正确答案是 C。

The radius is $\frac{5}{2},$ and $\angle AOC=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$ A chord subtending $120^\circ$ has length $2\left(\frac52\right)\sin60^\circ=\frac{5\sqrt3}{2}.$

Therefore, the correct answer is C.

7.

设

$\frac{35x-29}{x^2-3x+2} =\frac{N_1}{x-1}+\frac{N_2}{x-2}$

是关于 $x$ 的恒等式。则 $N_1N_2$ 的数值为：

Let

$\frac{35x-29}{x^2-3x+2} =\frac{N_1}{x-1}+\frac{N_2}{x-2}$

be an identity in $x.$ The numerical value of $N_1N_2$ is:

$-246$

$-210$

$-29$

$210$

$246$

答案：A

知识点：一次方程部分分式

难度评级：1210

小提示：

将两个分式通分到分母 $(x-1)(x-2)$

Combine the two fractions over $(x-1)(x-2)$

大提示：

比较 $x$ 的系数和常数项

Compare the coefficient of $x$ and the constant term

解答：

右边通分后的分子为 $\begin{aligned} &N_1(x-2)+N_2(x-1)\\ &\quad=(N_1+N_2)x\\ &\qquad-(2N_1+N_2) \end{aligned}\text{。}$ 因此 $N_1+N_2=35$ ，且 $2N_1+N_2=29$ 。从而 $N_1=-6$ 、 $N_2=41$ ，并且 $N_1N_2=-246$ 。

因此，正确答案是 A。

Combining the right side gives numerator $\begin{aligned} &N_1(x-2)+N_2(x-1)\\ &\quad=(N_1+N_2)x\\ &\qquad-(2N_1+N_2). \end{aligned}$ Thus $N_1+N_2=35$ and $2N_1+N_2=29.$ Hence $N_1=-6,$ $N_2=41,$ and $N_1N_2=-246.$

Therefore, the correct answer is A.

8.

两个相交圆的公共弦长为 $16$ 英尺。若两个半径分别为 $10$ 英尺和 $17$ 英尺，则两圆心之间的距离可能为（单位：英尺）：

The length of the common chord of two intersecting circles is $16$ feet. If the radii are $10$ feet and $17$ feet, a possible value for the distance between the centers of the circles, expressed in feet, is:

$27$

$21$

$\sqrt{389}$

$15$

无法确定

undetermined

答案：B

知识点：弦圆勾股定理

难度评级：1450

小提示：

两圆心的连线垂直平分公共弦

The line of centers perpendicularly bisects the common chord

大提示：

利用半弦长 $8$ 求每个圆心到弦的距离

Find each center’s distance from the chord using half-chord $8$

解答：

半弦长为 $8$ 。两个圆心到弦所在直线的垂直距离分别为 $\begin{gathered} \sqrt{10^2-8^2}=6,\\ \sqrt{17^2-8^2}=15 \end{gathered}\text{。}$ 若两圆心位于弦的两侧，则它们的距离为 $6+15=21$ ，这是一个可能值。

因此，正确答案是 B。

The half-chord has length $8.$ The two perpendicular distances from the centers to its line are $\begin{gathered} \sqrt{10^2-8^2}=6,\\ \sqrt{17^2-8^2}=15. \end{gathered}$ If the centers lie on opposite sides of the chord, their distance is $6+15=21,$ which is a possible value.

Therefore, the correct answer is B.

9.

若 $x=(\log_8 2)^{(\log_2 8)}$ ，则 $\log_3 x$ 等于：

If $x=(\log_8 2)^{(\log_2 8)},$ then $\log_3 x$ equals:

$-3$

$-\dfrac13$

$\dfrac13$

$3$

$9$

答案：A

知识点：指数对数

难度评级：1180

小提示：

分别求出 $\log_8 2$ 与 $\log_2 8$

Evaluate $\log_8 2$ and $\log_2 8$ separately

大提示：

将所得幂写成以 $3$ 为底的幂

Express the resulting power as a power of $3$

解答：

有 $\log_8 2=\frac{1}{3}$ 且 $\log_2 8=3$ 。因此 $x=(\frac{1}{3})^3=3^{-3}$ ，所以 $\log_3x=-3$ 。

因此，正确答案是 A。

We have $\log_8 2=\frac{1}{3}$ and $\log_2 8=3.$ Therefore $x=(\frac{1}{3})^3=3^{-3},$ so $\log_3x=-3.$

Thus, the correct answer is A.

10.

若两个数的和为 $1$ ，积为 $1$ ，则它们的立方和为（其中 $i=\sqrt{-1}$ ）：

If the sum of two numbers is $1$ and their product is $1,$ then the sum of their cubes is, where $i=\sqrt{-1}:$

$2$

$-2-\dfrac{3\sqrt3i}{4}$

$0$

$-\dfrac{3\sqrt3i}{4}$

$-2$

答案：E

知识点：复数立方和与立方差对称性（代数）

难度评级：1110

小提示：

使用 $u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v)$

Use $u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v)$

大提示：

直接代入所给的和与积

Substitute the given sum and product directly

解答：

若这两个数为 $u$ 、 $v$ ，则 $\begin{aligned} u^3+v^3 &=(u+v)^3-3uv(u+v)\\ &=1^3-3=-2 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

If the numbers are $u,$ and $v,$ then $\begin{aligned} u^3+v^3 &=(u+v)^3-3uv(u+v)\\ &=1^3-3=-2. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

11.

三角形 $BAC$ 的三边之比为 $2:3:4$ 。 $BD$ 是作到最短边 $AC$ 的角平分线，将其分成线段 $AD$ 与 $CD$ 。若 $AC$ 的长度为 $10$ ，则 $AC$ 上较长线段的长度为：

The sides of triangle $BAC$ are in the ratio $2:3:4.$ $BD$ is the angle-bisector drawn to the shortest side $AC,$ dividing it into segments $AD$ and $CD.$ If the length of $AC$ is $10,$ then the length of the longer segment of $AC$ is:

$3\dfrac12$

$5$

$5\dfrac57$

$6$

$7\dfrac12$

答案：C

知识点：角平分线定理比与比例

难度评级：1180

小提示：

因为 $AC$ 是最短边，所以它两端相邻的另两边之比为 $3:4$

Since $AC$ is the shortest side, the adjacent sides are in ratio $3:4$

大提示：

对 $AD:DC$ 应用角平分线定理

Apply the angle-bisector theorem to $AD:DC$

解答：

角 $B$ 两侧相邻边之比为 $3:4$ 。由角平分线定理， $AD:DC=3:4$ 。因此两段中较长的一段为 $\frac4{3+4}\cdot10=\frac{40}{7}=5\frac57\text{。}$

因此，正确答案是 C。

The sides adjacent to angle $B$ are in ratio $3:4.$ By the angle-bisector theorem, $AD:DC=3:4.$ The longer of the two parts is therefore $\frac4{3+4}\cdot10=\frac{40}{7}=5\frac57.$

Therefore, the correct answer is C.

12.

满足方程的实数 $x$ 的个数

$(2^{6x+3})(4^{3x+6})=8^{4x+5}$

为：

The number of real values of $x$ that satisfy the equation

$(2^{6x+3})(4^{3x+6})=8^{4x+5}$

is:

$0$

$1$

$2$

$3$

大于 $3$

greater than $3$

答案：E

知识点：代数变形指数

难度评级：1110

小提示：

将每一项都改写成以 $2$ 为底

Rewrite every term with base $2$

大提示：

在求 $x$ 之前，先比较等式两边的总指数

Compare the total exponent on each side before trying to solve for $x$

解答：

改写成以 $2$ 为底后，左边的指数为 $\begin{aligned} &(6x+3)+2(3x+6)\\ &\qquad=12x+15 \end{aligned}\text{，}$ 而右边的指数为 $3(4x+5)=12x+15$ 。该方程对每个实数 $x$ 都是恒等式，所以实数解多于三个。

因此，正确答案是 E。

In base $2,$ the left exponent is $\begin{aligned} &(6x+3)+2(3x+6)\\ &\qquad=12x+15, \end{aligned}$ and the right exponent is $3(4x+5)=12x+15.$ The equation is an identity for every real $x,$ so it has more than three real solutions.

Therefore, the correct answer is E.

13.

在 $xy$ 平面中满足 $x+y\leq5$ 的点中，坐标均为正有理数的点共有：

The number of points with positive rational coordinates selected from the set of points in the $xy$ -plane such that $x+y\leq5,$ is:

$9$

$10$

$14$

$15$

无限多个

infinite

答案：E

知识点：坐标几何不等式

难度评级：1030

小提示：

尝试固定其中一个正有理数坐标

Try fixing one positive rational coordinate

大提示：

一个区间内有无限多个正有理数

There are infinitely many positive rational numbers in an interval

解答：

例如，令 $y=1$ 。此时每个满足 $x\leq4$ 的正有理数都给出一个合格点 $(x,1)$ ，而这样的有理数有无限多个。

因此，正确答案是 E。

For example, set $y=1.$ Every positive rational $x\leq4$ then gives an allowed point $(x,1),$ and there are infinitely many such rationals.

Therefore, the correct answer is E.

14.

矩形 $ABCD$ 的长为 $5$ 英寸，宽为 $3$ 英寸。点 $E$ 与 $F$ 将对角线 $AC$ 三等分。三角形 $BEF$ 的面积（单位：平方英寸）为：

The length of rectangle $ABCD$ is $5$ inches and its width is $3$ inches. Diagonal $AC$ is divided into three equal segments by points $E$ and $F.$ The area of triangle $BEF,$ expressed in square inches, is:

$\dfrac32$

$\dfrac53$

$\dfrac52$

$\dfrac13\sqrt{34}$

$\dfrac13\sqrt{68}$

答案：C

知识点：坐标几何矩形三角形面积

难度评级：1450

小提示：

将矩形放置在 $(0,0)$ 、 $(5,0)$ 、 $(5,3)$ 、 $(0,3)$

Place the rectangle at $(0,0),$ $(5,0),$ $(5,3),$ and $(0,3)$

大提示：

对角线 $AC$ 的两个三等分点坐标很容易求

The trisection points of diagonal $AC$ have easy coordinates

解答：

取 $A=(0,0)$ 、 $B=(5,0)$ ，且 $C=(5,3)$ 。则 $E=(\frac{5}{3},1)$ ，且 $F=(\frac{10}{3},2)$ 。由行列式面积公式， $\begin{aligned} [BEF] &=\frac12\left| \left(-\frac{10}{3}\right)2 -\left(-\frac53\right)1 \right|\\ &=\frac52 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 C。

Take $A=(0,0),$ $B=(5,0),$ and $C=(5,3).$ Then $E=(\frac{5}{3},1)$ and $F=(\frac{10}{3},2).$ The determinant formula gives $\begin{aligned} [BEF] &=\frac12\left| \left(-\frac{10}{3}\right)2 -\left(-\frac53\right)1 \right|\\ &=\frac52. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is C.

15.

若 $x-y\gt x$ 且 $x+y\lt y$ ，则：

If $x-y\gt x$ and $x+y\lt y,$ then:

$y\lt x$

$x\lt y$

$x\lt y\lt0$

$x\lt0$ ，且 $y\lt0$

$x\lt0,$ and $y\lt0$

$x\lt0$ ，且 $y\gt0$

$x\lt0,$ and $y\gt0$

答案：D

知识点：代数变形不等式

难度评级：960

小提示：

第一个不等式两边都减去 $x$

Subtract $x$ from the first inequality

大提示：

第二个不等式两边都减去 $y$

Subtract $y$ from the second inequality

解答：

由 $x-y\gt x$ 得 $-y\gt0$ ，所以 $y\lt0$ 。由 $x+y\lt y$ 得 $x\lt0$ 。

因此，正确答案是 D。

From $x-y\gt x$ we get $-y\gt0,$ so $y\lt0.$ From $x+y\lt y$ we get $x\lt0.$

Therefore, the correct answer is D.

16.

若

$\begin{gathered} \dfrac{4^x}{2^{x+y}}=8,\\ \dfrac{9^{x+y}}{3^{5y}}=243 \end{gathered}\text{，}$

其中 $x$ 与 $y$ 为实数，则 $xy$ 等于：

If

$\begin{gathered} \dfrac{4^x}{2^{x+y}}=8,\\ \dfrac{9^{x+y}}{3^{5y}}=243, \end{gathered}$

$x$ and $y$ are real numbers, then $xy$ equals:

$1\dfrac34$

$4$

$6$

$12$

$-4$

答案：B

知识点：指数方程组

难度评级：1430

小提示：

分别将两个方程改写成以 $2$ 和 $3$ 为底

Rewrite both equations with bases $2$ and $3$

大提示：

令指数相等，得到关于 $x$ 、 $y$ 的两个线性方程

Equate exponents to obtain two linear equations in $x$ and $y$

解答：

第一个方程化为 $2^{x-y}=2^3$ ，所以 $x-y=3$ 。第二个方程化为 $3^{2x-3y}=3^5$ ，所以 $2x-3y=5$ 。解得 $y=1$ 、 $x=4$ ，因此 $xy=4$ 。

因此，正确答案是 B。

The first equation becomes $2^{x-y}=2^3,$ so $x-y=3.$ The second becomes $3^{2x-3y}=3^5,$ so $2x-3y=5.$ Solving gives $y=1,$ $x=4,$ and hence $xy=4.$

Therefore, the correct answer is B.

17.

曲线 $x^2+4y^2=1$ 与 $4x^2+y^2=4$ 共有的不同交点个数为：

The number of distinct points common to the curves $x^2+4y^2=1$ and $4x^2+y^2=4$ is:

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

答案：C

知识点：椭圆换元法方程组

难度评级：1430

小提示：

用第一个方程表示 $x^2$ ，再代入第二个方程

Use the first equation to substitute for $x^2$ in the second

大提示：

求出 $y$ 后，计入 $x$ 的两种可能符号

After finding $y,$ count both possible signs of $x$

解答：

由第一个方程， $x^2=1-4y^2$ 。代入第二个方程得 $4(1-4y^2)+y^2=4\text{，}$ 所以 $y=0$ 。此时 $x^2=1$ ，得到两个点 $(1,0)$ 与 $(-1,0)$ 。

因此，正确答案是 C。

From the first equation, $x^2=1-4y^2.$ Substitution into the second gives $4(1-4y^2)+y^2=4,$ so $y=0.$ Then $x^2=1,$ giving the two points $(1,0)$ and $(-1,0).$

Therefore, the correct answer is C.

18.

某等差数列的首项为 $2$ ，末项为 $29$ ，所有项之和为 $155$ 。其公差为：

In a given arithmetic sequence the first term is $2,$ the last term is $29,$ and the sum of all the terms is $155.$ The common difference is:

$3$

$2$

$\dfrac{27}{19}$

$\dfrac{13}{9}$

$\dfrac{23}{38}$

答案：A

知识点：等差数列求和

难度评级：1180

小提示：

用 $155=\frac{n(2+29)}{2}$ 求项数

Use $155=\frac{n(2+29)}{2}$ to find the number of terms

大提示：

再使用 $29=2+(n-1)d$

Then use $29=2+(n-1)d$

解答：

由求和公式， $155=\frac{31n}{2}$ ，所以 $n=10$ 。因此 $29=2+9d$ ，从而 $d=3$ 。

因此，正确答案是 A。

The sum formula gives $155=\frac{31n}{2},$ so $n=10.$ Therefore $29=2+9d,$ and $d=3.$

Thus, the correct answer is A.

19.

设 $s_1$ 为等差数列 $8$ 、 $12$ 、 $\ldots$ 的前 $n$ 项之和， $s_2$ 为等差数列 $17$ 、 $19$ 、 $\ldots$ 的前 $n$ 项之和。则使 $s_1=s_2$ 成立的值共有：

Let $s_1$ be the sum of the first $n$ terms of the arithmetic sequence $8,$ $12,$ $\ldots$ and let $s_2$ be the sum of the first $n$ terms of the arithmetic sequence $17,$ $19,$ $\ldots.$ Then $s_1=s_2$ for:

无 $n$ 值

no value of $n$

一个 $n$ 值

one value of $n$

两个 $n$ 值

two values of $n$

四个 $n$ 值

four values of $n$

多于四个 $n$ 值

more than four values of $n$

答案：B

知识点：等差数列二次方程求和

难度评级：1210

小提示：

分别写出两个数列的求和公式

Write a sum formula for each progression

大提示：

令两和相等后，约去正因子 $n$

Cancel the positive factor $n$ after equating the sums

解答：

两个和分别为 $\begin{gathered} s_1=2n^2+6n,\\ s_2=n^2+16n \end{gathered}\text{。}$ 令它们相等得 $n(n-10)=0$ 。因为项数为正，所以只有 $n=10$ 符合，即只有一个值。

因此，正确答案是 B。

The two sums are $\begin{gathered} s_1=2n^2+6n,\\ s_2=n^2+16n. \end{gathered}$ Equality gives $n(n-10)=0.$ Since a number of terms is positive, only $n=10$ works, so there is one value.

Therefore, the correct answer is B.

20.

若命题“ $a=0$ ”为真，则命题“对于实数 $a$ 和 $b$ ，若 $a=0$ ，则 $ab=0$ ”的否定为：

If the proposition “ $a=0$ ” is true, the negation of the proposition “For real values of $a$ and $b,$ if $a=0,$ then $ab=0$ ” is:

若 $a\ne0$ ，则 $ab\ne0$

If $a\ne0,$ then $ab\ne0$

若 $a\ne0$ ，则 $ab=0$

If $a\ne0,$ then $ab=0$

若 $a=0$ ，则 $ab\ne0$

If $a=0,$ then $ab\ne0$

若 $ab\ne0$ ，则 $a\ne0$

If $ab\ne0,$ then $a\ne0$

若 $ab=0$ ，则 $a\ne0$

If $ab=0,$ then $a\ne0$

答案：C

知识点：逻辑推理

难度评级：1180

小提示：

真结论的否定就是与其相反的陈述

The negation of a true conclusion is its opposite statement

大提示：

在已声明的假设 $a=0$ 下，否定结论 $ab=0$

Under the stated assumption $a=0,$ negate the conclusion $ab=0$

解答：

题目假定前提 $a=0$ 为真。因此，否定这个蕴含命题就要否定其结论： $ab=0$ 变为 $ab\ne0$ 。所求陈述就是“若 $a=0$ ，则 $ab\ne0$ 。”

因此，正确答案是 C。

The stated premise $a=0$ is assumed true. Negating the implication therefore negates its conclusion: $ab=0$ becomes $ab\ne0.$ Thus the required statement is “If $a=0,$ then $ab\ne0.$ ”

Therefore, the correct answer is C.

21.

按以下方法作一个“ $n$ 角星”：将一个凸多边形的各边依次编号为 $1$ 、 $2$ 、 $\ldots$ 、 $k$ 、 $\ldots$ 、 $n$ ，其中 $n\geq5$ ；对于 $k$ 的全部 $n$ 个取值，边 $k$ 与边 $k+2$ 均不平行，并约定边 $n+1$ 和边 $n+2$ 分别与边 $1$ 和边 $2$ 相同；将编号为 $k$ 和 $k+2$ 的 $n$ 对边延长至相交。（图示为 $n=5$ 的情形。）

设 $S$ 为该星形 $n$ 个尖角的内角度数之和，则 $S$ 等于：

An “ $n$ -pointed star” is formed as follows: the sides of a convex polygon are numbered consecutively $1,$ $2,$ $\ldots,$ $k,$ $\ldots,$ $n,$ $n\geq5;$ for all $n$ values of $k,$ sides $k$ and $k+2$ are non-parallel, sides $n+1$ and $n+2$ being respectively identical with sides $1$ and $2;$ prolong the $n$ pairs of sides numbered $k$ and $k+2$ until they meet. (A figure is shown for the case $n=5.$ )

Let $S$ be the degree-sum of the interior angles at the $n$ points of the star; then $S$ equals:

$180$

$360$

$180(n+2)$

$180(n-2)$

$180(n-4)$

答案：E

知识点：导角角度和

难度评级：1880

小提示：

将每个星尖角与原多边形的两个相邻内角联系起来

Relate each star-tip angle to two adjacent interior angles of the original polygon

大提示：

原多边形的内角和为 $180(n-2)$ 度

The original polygon’s interior-angle sum is $180(n-2)$ degrees

解答：

设原多边形的内角为 $a_1,\ldots,a_n$ 。由边 $k$ 和边 $k+2$ 形成的星尖角为 $a_k+a_{k+1}-180^\circ\text{。}$ 循环求和时，每个 $a_k$ 被计算两次。因此 $\begin{aligned} S&=2\sum_{k=1}^n a_k-180n\\ &=2\cdot180(n-2)-180n\\ &=180(n-4) \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Let the original polygon’s interior angles be $a_1,\ldots,a_n.$ The star angle made from sides $k$ and $k+2$ equals $a_k+a_{k+1}-180^\circ.$ Summing cyclically counts each $a_k$ twice. Hence $\begin{aligned} S&=2\sum_{k=1}^n a_k-180n\\ &=2\cdot180(n-2)-180n\\ &=180(n-4). \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

22.

考虑下列等式：

$\text{(I) }\sqrt{a^2+b^2}=0$ $\text{(II) }\sqrt{a^2+b^2}=ab$ $\text{(III) }\sqrt{a^2+b^2}=a+b$ $\text{(IV) }\sqrt{a^2+b^2}=a-b$

其中允许 $a$ 与 $b$ 为实数或复数。除 $a=0$ 且 $b=0$ 外仍存在解的等式是：

Consider the statements:

$\text{(I) }\sqrt{a^2+b^2}=0$ $\text{(II) }\sqrt{a^2+b^2}=ab$ $\text{(III) }\sqrt{a^2+b^2}=a+b$ $\text{(IV) }\sqrt{a^2+b^2}=a-b$

where we allow $a$ and $b$ to be real or complex numbers. Those statements for which there exist solutions other than $a=0$ and $b=0,$ are:

$(\mathrm{I})$ ， $(\mathrm{II})$ ， $(\mathrm{III})$ ， $(\mathrm{IV})$

$(\mathrm{I}),$ $(\mathrm{II}),$ $(\mathrm{III}),$ $(\mathrm{IV})$

仅 $(\mathrm{II})$ ， $(\mathrm{III})$ ， $(\mathrm{IV})$

$(\mathrm{II}),$ $(\mathrm{III}),$ $(\mathrm{IV})$ only

仅 $(\mathrm{I})$ ， $(\mathrm{III})$ ， $(\mathrm{IV})$

$(\mathrm{I}),$ $(\mathrm{III}),$ $(\mathrm{IV})$ only

仅 $(\mathrm{III})$ ， $(\mathrm{IV})$

$(\mathrm{III}),$ $(\mathrm{IV})$ only

仅 $(\mathrm{I})$

$(\mathrm{I})$ only

答案：A

知识点：复数反例根式

难度评级：1880

小提示：

对每个等式，找到一个非零解即可

One nonzero example is enough for each statement

大提示：

对 $(\mathrm{I})$ 尝试 $b=i$ ，对 $(\mathrm{II})$ 取两个相等正值，对 $(\mathrm{III})$ 和 $(\mathrm{IV})$ 取 $b=0$

Try $b=i$ for $(\mathrm{I}),$ equal positive values for $(\mathrm{II}),$ and $b=0$ for $(\mathrm{III})$ and $(\mathrm{IV})$

解答：

每个等式都有非零解。对 $(\mathrm{I})$ ，取 $(a,b)=(1,i)$ 。对 $(\mathrm{II})$ ，取 $a=b=\sqrt2$ ，此时 $\sqrt4=2=ab$ 。对 $(\mathrm{III})$ 和 $(\mathrm{IV})$ ，都取 $(a,b)=(1,0)$ 。因此四个等式都符合要求。

因此，正确答案是 A。

Every statement has a nonzero solution. For $(\mathrm{I}),$ use $(a,b)=(1,i).$ For $(\mathrm{II}),$ use $a=b=\sqrt2,$ giving $\sqrt4=2=ab.$ For both $(\mathrm{III})$ and $(\mathrm{IV}),$ use $(a,b)=(1,0).$ Thus all four statements qualify.

Therefore, the correct answer is A.

23.

若 $x$ 为实数且 $4y^2+4xy+x+6=0$ ，则使 $y$ 为实数的全部 $x$ 值为：

If $x$ is real and $4y^2+4xy+x+6=0,$ then the complete set of values of $x$ for which $y$ is real, is:

$x\leq-2$ 或 $x\geq3$

$x\leq-2$ or $x\geq3$

$x\leq2$ 或 $x\geq3$

$x\leq2$ or $x\geq3$

$x\leq-3$ 或 $x\geq2$

$x\leq-3$ or $x\geq2$

$-3\leq x\leq2$

$-2\leq x\leq3$

答案：A

知识点：不等式二次方程

难度评级：1180

小提示：

将方程看作关于 $y$ 的二次方程

Treat the equation as a quadratic in $y$

大提示：

要求判别式 $16(x-3)(x+2)$ 非负

Require its discriminant $16(x-3)(x+2)$ to be nonnegative

解答：

将它看作关于 $y$ 的二次方程，其判别式为 $\begin{aligned} &(4x)^2-16(x+6)\\ &\qquad=16(x-3)(x+2) \end{aligned}\text{。}$ 它非负恰好等价于 $x\leq-2$ 或 $x\geq3$ 。

因此，正确答案是 A。

As a quadratic in $y,$ the equation has discriminant $\begin{aligned} &(4x)^2-16(x+6)\\ &\qquad=16(x-3)(x+2). \end{aligned}$ This is nonnegative exactly when $x\leq-2$ or $x\geq3.$

Therefore, the correct answer is A.

24.

若 $\log_MN=\log_NM$ 、 $M\ne N$ 、 $MN\gt0$ ，且 $M\ne1$ 、 $N\ne1$ ，则 $MN$ 等于：

If $\log_MN=\log_NM,$ $M\ne N,$ $MN\gt0,$ and $M\ne1,$ $N\ne1,$ then $MN$ equals:

$\dfrac12$

$1$

$2$

$10$

大于 $2$ 且小于 $10$ 的数

a number greater than $2$ and less than $10$

答案：B

知识点：代数变形对数

难度评级：1430

小提示：

用自然对数改写两个对数

Write both logarithms using natural logs

大提示：

该等式给出 $(\ln M)^2=(\ln N)^2$ ；再利用 $M\ne N$

The equality gives $(\ln M)^2=(\ln N)^2$ ; use $M\ne N$

解答：

换底公式给出 $\frac{\ln N}{\ln M}=\frac{\ln M}{\ln N}\text{，}$ 所以 $(\ln M)^2=(\ln N)^2$ 。若两个对数本身相等，就会得到已排除的 $M=N$ 。因此 $\ln M=-\ln N$ ，且 $\ln(MN)=0$ 。所以 $MN=1$ 。

因此，正确答案是 B。

Change of base gives $\frac{\ln N}{\ln M}=\frac{\ln M}{\ln N},$ so $(\ln M)^2=(\ln N)^2.$ Equality of the logs themselves would give $M=N,$ which is excluded. Hence $\ln M=-\ln N,$ and $\ln(MN)=0.$ Thus $MN=1.$

Therefore, the correct answer is B.

25.

若当 $n=1$ 、 $2$ 、 $\ldots$ 时， $F(n+1)=\dfrac{2F(n)+1}{2}$ ，且 $F(1)=2$ ，则 $F(101)$ 等于：

If $F(n+1)=\dfrac{2F(n)+1}{2}$ for $n=1,$ $2,$ $\ldots,$ and $F(1)=2,$ then $F(101)$ equals:

$49$

$50$

$51$

$52$

$53$

答案：D

知识点：等差数列递推

难度评级：960

小提示：

将递推式化简为 $F(n+1)=F(n)+\frac{1}{2}$

Simplify the recurrence to $F(n+1)=F(n)+\frac{1}{2}$

大提示：

计算从 $n=1$ 到 $n=101$ 共有多少次增量

Count the increments from $n=1$ to $n=101$

解答：

每一步增加 $\frac{1}{2}$ 。从 $F(1)$ 到 $F(101)$ ，共有 $100$ 步，所以 $F(101)=2+\frac{100}{2}=52\text{。}$

因此，正确答案是 D。

Each step adds $\frac{1}{2}.$ There are $100$ steps from $F(1)$ to $F(101),$ so $F(101)=2+\frac{100}{2}=52.$

Therefore, the correct answer is D.

26.

设 $m$ 为正整数，且直线 $13x+11y=700$ 与 $y=mx-1$ 交于一个坐标均为整数的点。则 $m$ 可以是：

Let $m$ be a positive integer and let the lines $13x+11y=700$ and $y=mx-1$ intersect in a point whose coordinates are integers. Then $m$ can be:

仅 $4$

$4$ only

仅 $5$

$5$ only

仅 $6$

$6$ only

仅 $7$

$7$ only

整数 $4$ 、 $5$ 、 $6$ 、 $7$ 之一以及另一个正整数

one of the integers $4,$ $5,$ $6,$ $7$ and one other positive integer

答案：C

知识点：丢番图方程整除性一次方程

难度评级：1650

小提示：

将 $y=mx-1$ 代入第一条直线的方程

Substitute $y=mx-1$ into the first line

大提示：

要使 $x$ 为整数， $13+11m$ 必须整除 $711$

For integer $x,$ the number $13+11m$ must divide $711$

解答：

代入得 $(13+11m)x=711\text{。}$ 因此 $13+11m$ 必须是 $711=3^2\cdot79$ 的正因数。在大于 $13$ 的因数中，只有 $79$ 与 $13\pmod{11}$ 同余。因此 $13+11m=79$ ，所以 $m=6$ 。

因此，正确答案是 C。

Substitution gives $(13+11m)x=711.$ Thus $13+11m$ must be a positive divisor of $711=3^2\cdot79.$ Among divisors greater than $13,$ only $79$ is congruent to $13\pmod{11}.$ Hence $13+11m=79,$ so $m=6.$

Therefore, the correct answer is C.

27.

一个人按通常速度顺流划行 $15$ 英里，所用时间比返程少五小时。若他将通常划船速度加倍，则顺流时间只比逆流时间少一小时。水流速度（单位：英里/小时）为：

At his usual rate a man rows $15$ miles downstream in five hours less time than it takes him to return. If he doubles his usual rate, the time downstream is only one hour less than the time upstream. In miles per hour, the rate of the stream’s current is:

$2$

$\dfrac52$

$3$

$\dfrac72$

$4$

答案：A

知识点：分式方程相对速度方程组

难度评级：1850

小提示：

设 $v$ 为划船者在静水中的速度， $c$ 为水流速度

Let $v$ be the rower’s still-water speed and $c$ the current speed

大提示：

用速度 $v\pm c$ 与 $2v\pm c$ 表示两次时间差

Translate the two time differences using speeds $v\pm c$ and $2v\pm c$

解答：

两次时间差给出 $\begin{aligned} \frac{15}{v-c}-\frac{15}{v+c}&=5,\\ \frac{15}{2v-c}-\frac{15}{2v+c}&=1 \end{aligned}\text{。}$ 化简得 $v^2-c^2=6c$ 且 $4v^2-c^2=30c$ 。将 $v^2=c^2+6c$ 代入第二式，得到 $3c^2-6c=0$ 。由 $c\gt0$ 可得 $c=2$ 。

因此，正确答案是 A。

The two time differences give $\begin{aligned} \frac{15}{v-c}-\frac{15}{v+c}&=5,\\ \frac{15}{2v-c}-\frac{15}{2v+c}&=1. \end{aligned}$ These simplify to $v^2-c^2=6c$ and $4v^2-c^2=30c.$ Substituting $v^2=c^2+6c$ into the second gives $3c^2-6c=0.$ Since $c\gt0,$ we have $c=2.$

Therefore, the correct answer is A.

28.

在一条直线上依次取五个点 $O$ 、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ ，且距离 $OA=a$ 、 $OB=b$ 、 $OC=c$ 、 $OD=d$ 。点 $P$ 位于 $B$ 与 $C$ 之间，并满足 $AP:PD=BP:PC$ 。则 $OP$ 等于：

Five points $O,$ $A,$ $B,$ $C,$ $D$ are taken in order on a straight line with distances $OA=a,$ $OB=b,$ $OC=c,$ and $OD=d.$ $P$ is a point on the line between $B$ and $C$ and such that $AP:PD=BP:PC.$ Then $OP$ equals:

$\dfrac{b^2-bc}{a-b+c-d}$

$\dfrac{ac-bd}{a-b+c-d}$

$-\dfrac{bd+ac}{a-b+c-d}$

$\dfrac{bc+ad}{a+b+c+d}$

$\dfrac{ac-bd}{a+b+c+d}$

答案：B

知识点：一次方程比与比例

难度评级：1850

小提示：

令 $p=OP$ 。则 $AP=p-a$ 、 $PD=d-p$ 、 $BP=p-b$ ，且 $PC=c-p$

Write $p=OP.$ Then $AP=p-a,$ $PD=d-p,$ $BP=p-b,$ and $PC=c-p$

大提示：

作上述代入后，对所给比例交叉相乘

Cross-multiply the two given ratios after making those substitutions

解答：

令 $p=OP$ 。所给比例化为 $\frac{p-a}{d-p}=\frac{p-b}{c-p}\text{。}$ 交叉相乘后， $p^2$ 项相消，得到 $p(a-b+c-d)=ac-bd\text{。}$ 因此 $p=\frac{ac-bd}{a-b+c-d}$ 。

因此，正确答案是 B。

Let $p=OP.$ The given ratio becomes $\frac{p-a}{d-p}=\frac{p-b}{c-p}.$ Cross-multiplication cancels the $p^2$ terms and yields $p(a-b+c-d)=ac-bd.$ Therefore $p=\frac{ac-bd}{a-b+c-d}.$

Thus, the correct answer is B.

29.

小于 $1000$ 且既不能被 $5$ 整除也不能被 $7$ 整除的正整数共有：

The number of positive integers less than $1000$ divisible by neither $5$ nor $7$ is:

$688$

$686$

$684$

$658$

$630$

答案：B

知识点：区间内整数计数整除性容斥原理

难度评级：1180

小提示：

小于 $1000$ 的正整数有 $999$ 个

There are $999$ positive integers below $1000$

大提示：

减去 $5$ 和 $7$ 的倍数，再加回 $35$ 的倍数

Subtract multiples of $5$ and $7$ , then add back multiples of $35$

解答：

由容斥原理，所求个数为 $\begin{aligned} &999-\left\lfloor\frac{999}{5}\right\rfloor -\left\lfloor\frac{999}{7}\right\rfloor\\ &\quad+\left\lfloor\frac{999}{35}\right\rfloor\\ &=999-199-142+28\\ &=686 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 B。

By inclusion-exclusion, the count is $\begin{aligned} &999-\left\lfloor\frac{999}{5}\right\rfloor -\left\lfloor\frac{999}{7}\right\rfloor\\ &\quad+\left\lfloor\frac{999}{35}\right\rfloor\\ &=999-199-142+28\\ &=686. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

30.

若 $x^4+ax^2+bx+c=0$ 的三个根为 $1$ 、 $2$ 和 $3$ ，则 $a+c$ 的值为：

If three of the roots of $x^4+ax^2+bx+c=0$ are $1,$ $2,$ and $3,$ then the value of $a+c$ is:

$35$

$24$

$-12$

$-61$

$-63$

答案：D

知识点：多项式韦达定理

难度评级：1210

小提示：

缺少 $x^3$ 项意味着四个根之和为零

The missing $x^3$ coefficient makes the sum of all four roots zero

大提示：

利用第四个根求两两乘积之和 $a$ 与四根之积 $c$

Use the fourth root to compute the pairwise sum $a$ and product $c$

解答：

因为根之和为零，所以第四个根是 $-6$ 。两两乘积之和为 $\begin{aligned} a&=2+3-6+6\\ &\quad-12-18=-25 \end{aligned}\text{，}$ 而四根之积为 $c=(1)(2)(3)(-6)=-36$ 。因此 $a+c=-61$ 。

因此，正确答案是 D。

The fourth root is $-6$ because the root sum is zero. The sum of pairwise products is $\begin{aligned} a&=2+3-6+6\\ &\quad-12-18=-25, \end{aligned}$ while the product is $c=(1)(2)(3)(-6)=-36.$ Thus $a+c=-61.$

Therefore, the correct answer is D.

31.

三角形 $ABC$ 内接于圆心为 $O'$ 的圆。圆心为 $O$ 的圆内切于三角形 $ABC$ 。作 $AO$ ，并延长至与大圆交于 $D$ 。则必有：

Triangle $ABC$ is inscribed in a circle with center $O'.$ A circle with center $O$ is inscribed in triangle $ABC.$ $AO$ is drawn, and extended to intersect the larger circle in $D.$ Then we must have:

$CD=BD=O'D$

$AO=CO=OD$

$CD=CO=BD$

$CD=OD=BD$

$O'B=O'C=OD$

答案：D

知识点：导角外接圆、外心与外接圆半径内切圆、内心与内切圆半径

难度评级：1880

小提示：

直线 $AD$ 平分 $\angle A$ ，所以 $D$ 是弧 $BC$ 的中点

Line $AD$ bisects $\angle A,$ so $D$ is the midpoint of arc $BC$

大提示：

比较三角形 $COD$ 中的角，证明 $CD=OD$

Compare angles in triangle $COD$ to show $CD=OD$

解答：

因为 $AO$ 是角平分线，所以圆周角 $\angle BAD$ 与 $\angle CAD$ 相等。因此弧 $BD$ 与 $CD$ 相等，从而弦 $BD$ 与 $CD$ 相等。

设 $\angle BAD=\alpha$ ，且 $\angle BCO=\beta$ 。则 $\angle OCD=\alpha+\beta$ 。在三角形 $AOC$ 中，外角 $\angle COD$ 也等于 $\alpha+\beta$ 。因此 $CD=OD$ ，所以 $CD=OD=BD$ 。

因此，正确答案是 D。

Because $AO$ is an angle bisector, the inscribed angles $\angle BAD$ and $\angle CAD$ are equal. Hence arcs $BD$ and $CD$ , and therefore chords $BD$ and $CD,$ are equal.

Let $\angle BAD=\alpha$ and $\angle BCO=\beta.$ Then $\angle OCD=\alpha+\beta.$ In triangle $AOC,$ the exterior angle $\angle COD$ also equals $\alpha+\beta.$ Thus $CD=OD,$ so $CD=OD=BD.$

Therefore, the correct answer is D.

32.

设 $M$ 为三角形 $ABC$ 的边 $AB$ 的中点。点 $P$ 位于 $AB$ 上的 $A$ 与 $M$ 之间，过该中点作 $MD$ 平行于 $PC$ ，并与 $BC$ 交于 $D$ 。若三角形 $BPD$ 与三角形 $ABC$ 的面积之比记为 $r$ ，则：

Let $M$ be the midpoint of side $AB$ of triangle $ABC.$ Let $P$ be a point on $AB$ between $A$ and $M,$ and let $MD$ be drawn parallel to $PC$ and intersecting $BC$ at $D.$ If the ratio of the area of triangle $BPD$ to that of triangle $ABC$ is denoted by $r,$ then:

$\dfrac12\lt r\lt1$ ，取决于 $P$ 的位置

$\dfrac12\lt r\lt1$ depending upon the position of $P$

$r=\dfrac12$ ，与 $P$ 的位置无关

$r=\dfrac12$ independent of the position of $P$

$\dfrac12\leq r\lt1$ ，取决于 $P$ 的位置

$\dfrac12\leq r\lt1$ depending upon the position of $P$

$\dfrac13\lt r\lt\dfrac23$ ，取决于 $P$ 的位置

$\dfrac13\lt r\lt\dfrac23$ depending upon the position of $P$

$r=\dfrac13$ ，与 $P$ 的位置无关

$r=\dfrac13$ independent of the position of $P$

答案：B

知识点：面积比中线（几何）平行线

难度评级：1650

小提示：

三角形 $MDP$ 与 $MDC$ 同底，且另两顶点位于平行线上

Triangles $MDP$ and $MDC$ have equal bases on parallel lines

大提示：

分别将它们的面积加到 $[BMD]$ 上，再利用 $CM$ 是中线

Add their areas to $[BMD]$ and use that $CM$ is a median

解答：

因为 $MD\parallel PC$ ，三角形 $MDP$ 与 $MDC$ 的底边同为 $MD$ ，且高相等，所以它们的面积相等。因此 $\begin{aligned} [BPD] &=[BMD]+[MDP]\\ &=[BMD]+[MDC]\\ &=[BMC] \end{aligned}\text{。}$ 因为 $CM$ 是中线，所以 $[BMC]=\frac{[ABC]}{2}$ 。因此对于每个符合条件的 $P$ ，都有 $r=\frac{1}{2}$ 。

因此，正确答案是 B。

Since $MD\parallel PC,$ triangles $MDP$ and $MDC$ have the same base $MD$ and equal altitudes, so their areas are equal. Hence $\begin{aligned} [BPD] &=[BMD]+[MDP]\\ &=[BMD]+[MDC]\\ &=[BMC]. \end{aligned}$ Because $CM$ is a median, $[BMC]=\frac{[ABC]}{2}.$ Thus $r=\frac{1}{2}$ for every allowed $P.$

Therefore, the correct answer is B.

33.

若 $ab\ne0$ 且 $|a|\ne|b|$ ，则满足方程的不同 $x$ 值的个数

$\begin{aligned} \frac{x-a}{b}+\frac{x-b}{a} &=\frac{b}{x-a}\\ &\quad+\frac{a}{x-b} \end{aligned}$

为：

If $ab\ne0$ and $|a|\ne|b|,$ the number of distinct values of $x$ satisfying the equation

$\begin{aligned} \frac{x-a}{b}+\frac{x-b}{a} &=\frac{b}{x-a}\\ &\quad+\frac{a}{x-b} \end{aligned}$

is:

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

答案：D

知识点：代数变形因式分解分式方程

难度评级：1710

小提示：

两边通分后都含有分子 $(a+b)x-(a^2+b^2)$

Both sides contain the numerator $(a+b)x-(a^2+b^2)$ after combining terms

大提示：

将方程因式分解成该分子与两个倒数之差的乘积

Factor the equation into that numerator times a difference of reciprocals

解答：

设 $N=(a+b)x-a^2-b^2$ 。两边分别通分可得 $N\left(\frac1{ab} -\frac1{(x-a)(x-b)}\right)=0\text{。}$ 第一个因子给出 $x=\frac{a^2+b^2}{a+b}$ 。第二个因子给出 $(x-a)(x-b)=ab$ ，即 $x(x-a-b)=0$ ，从而得到 $x=0$ 与 $x=a+b$ 。题设条件保证三个值都有定义且互不相同。

因此，正确答案是 D。

Let $N=(a+b)x-a^2-b^2.$ Combining each side gives $N\left(\frac1{ab} -\frac1{(x-a)(x-b)}\right)=0.$ The first factor gives $x=\frac{a^2+b^2}{a+b}.$ The second gives $(x-a)(x-b)=ab,$ or $x(x-a-b)=0,$ giving $x=0$ and $x=a+b.$ The hypotheses ensure that all three are defined and distinct.

Therefore, the correct answer is D.

34.

一个周长为 $11$ 英尺的车轮以每小时 $r$ 英里的速度行驶。若车轮转一整圈的时间缩短 $\dfrac14$ 秒，速度 $r$ 就会增加 $5$ 英里/小时。则 $r$ 为：

Let $r$ be the speed in miles per hour at which a wheel, $11$ feet in circumference, travels. If the time for a complete rotation of the wheel is shortened by $\dfrac14$ of a second, the speed $r$ is increased by $5$ miles per hour. Then $r$ is:

$9$

$10$

$10\dfrac12$

$11$

$12$

答案：B

知识点：路程、速度与时间分式方程单位换算

难度评级：1650

小提示：

以每小时 $r$ 英里的速度行驶时，转一圈需要 $\frac{7.5}{r}$ 秒

At $r$ miles per hour, one rotation takes $\frac{7.5}{r}$ seconds

大提示：

列出 $\frac{7.5}{r}-\frac{7.5}{r+5}=\frac{1}{4}$

Set $\frac{7.5}{r}-\frac{7.5}{r+5}=\frac{1}{4}$

解答：

因为 $11$ 英尺等于 $\frac{11}{5280}$ 英里，所以以每小时 $r$ 英里的速度转一圈需要 $\frac{3600\cdot11}{5280r}=\frac{7.5}{r}$ 秒。因此 $\frac{7.5}{r}-\frac{7.5}{r+5}=\frac14\text{。}$ 化简得 $r^2+5r-150=0$ ，即 $(r-10)(r+15)=0$ 。正的速度为 $r=10$ 。

因此，正确答案是 B。

Since $11$ feet is $\frac{11}{5280}$ mile, one rotation at $r$ mph takes $\frac{3600\cdot11}{5280r}=\frac{7.5}{r}$ seconds. Thus $\frac{7.5}{r}-\frac{7.5}{r+5}=\frac14.$ This reduces to $r^2+5r-150=0,$ or $(r-10)(r+15)=0.$ The positive speed is $r=10.$

Therefore, the correct answer is B.

35.

设 $O$ 为三角形 $ABC$ 的内点，且 $s_1=OA+OB+OC$ 。若 $s_2=AB+BC+CA$ ，则：

Let $O$ be an interior point of triangle $ABC,$ and let $s_1=OA+OB+OC.$ If $s_2=AB+BC+CA,$ then:

对每个三角形， $s_1\gt\dfrac12s_2$ ，且 $s_1\leq s_2$

for every triangle $s_1\gt\dfrac12s_2,$ and $s_1\leq s_2$

对每个三角形， $s_1\geq\dfrac12s_2$ ，且 $s_1\lt s_2$

for every triangle $s_1\geq\dfrac12s_2,$ and $s_1\lt s_2$

对每个三角形， $s_1\gt\dfrac12s_2$ ，且 $s_1\lt s_2$

for every triangle $s_1\gt\dfrac12s_2,$ and $s_1\lt s_2$

对每个三角形， $s_1\geq\dfrac12s_2$ ，且 $s_1\leq s_2$

for every triangle $s_1\geq\dfrac12s_2,$ and $s_1\leq s_2$

$(A)$ 、 $(B)$ 、 $(C)$ 、 $(D)$ 均不适用于每个三角形

neither $(A)$ nor $(B)$ nor $(C)$ nor $(D)$ applies to every triangle

答案：C

知识点：极限情形界定三角不等式

难度评级：1880

小提示：

将 $AB\lt OA+OB$ 、 $BC\lt OB+OC$ 与 $CA\lt OC+OA$ 相加

Add $AB\lt OA+OB,$ $BC\lt OB+OC,$ and $CA\lt OC+OA$

大提示：

将 $AO$ 延长至边 $BC$ ，证明 $OA+OB\lt AC+CB$ ，再循环处理

Extend $AO$ to side $BC$ to prove $OA+OB\lt AC+CB,$ and cycle

解答：

将三个严格的三角不等式 $\begin{gathered} AB\lt OA+OB,\\ BC\lt OB+OC,\\ CA\lt OC+OA \end{gathered}$ 相加，得到 $s_2\lt2s_1$ 。

为求上界，将 $AO$ 延长至 $BC$ 上的 $D$ 。此时 $AO+OD\lt AC+CD$ ，且 $OB\lt OD+DB$ ，消去相同部分得 $OA+OB\lt AC+CB$ 。循环处理并相加，得到 $2s_1\lt2s_2$ 。因此 $s_1\gt \frac{s_2}{2}$ 且 $s_1\lt s_2$ 。

因此，正确答案是 C。

Adding the three strict triangle inequalities $\begin{gathered} AB\lt OA+OB,\\ BC\lt OB+OC,\\ CA\lt OC+OA \end{gathered}$ gives $s_2\lt2s_1.$

For the upper bound, extend $AO$ to $D$ on $BC.$ Then $AO+OD\lt AC+CD$ and $OB\lt OD+DB,$ so cancellation gives $OA+OB\lt AC+CB.$ Cycling and adding yields $2s_1\lt2s_2.$ Therefore $s_1\gt \frac{s_2}{2}$ and $s_1\lt s_2.$

Thus, the correct answer is C.

36.

设

$\begin{aligned} (1+x+x^2)^n &=a_0+a_1x\\ &\quad+a_2x^2+\cdots\\ &\quad+a_{2n}x^{2n} \end{aligned}$

是关于 $x$ 的恒等式。若令 $s=a_0+a_2+a_4+\cdots+a_{2n}$ ，则 $s$ 等于：

Let

$\begin{aligned} (1+x+x^2)^n &=a_0+a_1x\\ &\quad+a_2x^2+\cdots\\ &\quad+a_{2n}x^{2n} \end{aligned}$

be an identity in $x.$ If we let $s=a_0+a_2+a_4+\cdots+a_{2n},$ then $s$ equals:

$2^n$

$2^n+1$

$\dfrac{3^n-1}{2}$

$\dfrac{3^n}{2}$

$\dfrac{3^n+1}{2}$

答案：E

知识点：奇偶性多项式换元法

难度评级：1430

小提示：

分别令多项式中的 $x=1$ 与 $x=-1$

Evaluate the polynomial at $x=1$ and $x=-1$

大提示：

将这两个值相加，所有奇数次项的系数都会相消

Adding those two values cancels all odd-degree coefficients

解答：

设 $P(x)=(1+x+x^2)^n$ 。则 $P(1)=3^n$ 是所有系数之和，而 $P(-1)=1$ 是偶数次项系数之和减去奇数次项系数之和。因此 $s=\frac{P(1)+P(-1)}2=\frac{3^n+1}{2}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Let $P(x)=(1+x+x^2)^n.$ Then $P(1)=3^n$ is the sum of all coefficients, while $P(-1)=1$ is the even-coefficient sum minus the odd-coefficient sum. Therefore $s=\frac{P(1)+P(-1)}2=\frac{3^n+1}{2}.$

Therefore, the correct answer is E.

37.

阿尔法、贝塔和伽马三人合作完成一项工作，所需时间比阿尔法单独工作少 $6$ 小时，比贝塔单独工作少 $1$ 小时，并且是伽马单独工作所需时间的一半。设阿尔法与贝塔合作完成该工作需要 $h$ 小时，则 $h$ 等于：

Three men, Alpha, Beta, and Gamma, working together, do a job in $6$ hours less time than Alpha alone, in $1$ hour less time than Beta alone, and in one-half the time needed by Gamma when working alone. Let $h$ be the number of hours needed by Alpha and Beta, working together, to do the job. Then $h$ equals:

$\dfrac52$

$\dfrac32$

$\dfrac43$

$\dfrac54$

$\dfrac34$

答案：C

知识点：速率分式方程方程组

难度评级：1850

小提示：

设三人合作所需时间为 $t$

Let $t$ be the time all three take together

大提示：

三人单独工作的时间分别为 $t+6$ 、 $t+1$ 、 $2t$ ；将各自工作效率相加

Their individual times are $t+6,$ $t+1,$ and $2t$ ; add reciprocal rates

解答：

若三人合作需要 $t$ 小时，则 $\frac1{t+6}+\frac1{t+1}+\frac1{2t}=\frac1t\text{。}$ 化简得 $3t^2+7t-6=0$ ，所以 $t=\frac{2}{3}$ 。阿尔法与贝塔单独工作分别需要 $\frac{20}{3}$ 和 $\frac{5}{3}$ 小时，因此二人的合计工作效率为 $\frac{3}{20}+\frac{3}{5}=\frac{3}{4}$ 。所以 $h=\frac{4}{3}$ 。

因此，正确答案是 C。

If all three together take $t$ hours, then $\frac1{t+6}+\frac1{t+1}+\frac1{2t}=\frac1t.$ This simplifies to $3t^2+7t-6=0,$ so $t=\frac{2}{3}.$ Alpha and Beta alone take $\frac{20}{3}$ and $\frac{5}{3}$ hours, so their combined rate is $\frac{3}{20}+\frac{3}{5}=\frac{3}{4}.$ Hence $h=\frac{4}{3}.$

Therefore, the correct answer is C.

38.

在三角形 $ABC$ 中，分别作到边 $BC$ 与 $AB$ 的中线 $AM$ 和 $CN$ ，二者交于点 $O$ 。点 $P$ 是边 $AC$ 的中点，且 $MP$ 与 $CN$ 交于 $Q$ 。若三角形 $OMQ$ 的面积为 $n$ ，则三角形 $ABC$ 的面积为：

In triangle $ABC$ the medians $AM$ and $CN$ to sides $BC$ and $AB,$ respectively, intersect in point $O.$ $P$ is the midpoint of side $AC,$ and $MP$ intersects $CN$ in $Q.$ If the area of triangle $OMQ$ is $n,$ then the area of triangle $ABC$ is:

$16n$

$18n$

$21n$

$24n$

$27n$

答案：D

知识点：面积比重心坐标几何中线（几何）

难度评级：1650

小提示：

使用仿射模型 $A=(0,0)$ 、 $B=(2,0)$ 、 $C=(0,2)$

Use an affine model $A=(0,0),$ $B=(2,0),$ and $C=(0,2)$

大提示：

求出 $M,O,P,Q$ ，再比较两个面积

Find $M,O,P,Q$ and compare the two areas

解答：

面积比在仿射变换下不变，所以取 $A=(0,0)$ 、 $B=(2,0)$ ，且 $C=(0,2)$ 。则 $\begin{gathered} M=(1,1),\\ O=(\frac{2}{3},\frac{2}{3}),\\ P=(0,1) \end{gathered}\text{。}$ 直线 $MP$ 为 $y=1$ ，它与中线 $CN$ 交于 $Q=(\frac{1}{2},1)$ 。因此 $[OMQ]=\frac{1}{12}$ ，而 $[ABC]=2$ 。二者之比为 $24$ ，所以 $[ABC]=24n$ 。

因此，正确答案是 D。

Area ratios are affine-invariant, so take $A=(0,0),$ $B=(2,0),$ and $C=(0,2).$ Then $\begin{gathered} M=(1,1),\\ O=(\frac{2}{3},\frac{2}{3}),\\ P=(0,1). \end{gathered}$ Line $MP$ is $y=1,$ and it meets median $CN$ at $Q=(\frac{1}{2},1).$ Thus $[OMQ]=\frac{1}{12},$ while $[ABC]=2.$ Their ratio is $24,$ so $[ABC]=24n.$

Therefore, the correct answer is D.

39.

在 $R_1$ 进制中，分数 $F_1$ 展开为 $0.373737\ldots$ ，分数 $F_2$ 展开为 $0.737373\ldots$ 。在 $R_2$ 进制中，分数 $F_1$ 展开为 $0.252525\ldots$ ，而分数 $F_2$ 展开为 $0.525252\ldots$ 。将 $R_1$ 与 $R_2$ 都写成十进制后，它们的和为：

In base $R_1$ the expanded fraction $F_1$ becomes $0.373737\ldots$ and the expanded fraction $F_2$ becomes $0.737373\ldots.$ In base $R_2$ fraction $F_1,$ when expanded, becomes $0.252525\ldots,$ while fraction $F_2$ becomes $0.525252\ldots.$ The sum of $R_1$ and $R_2,$ each written in base ten, is:

$24$

$22$

$21$

$20$

$19$

答案：E

知识点：进制循环小数方程组

难度评级：1990

小提示：

$R$ 进制中的循环数位对 $ab$ 等于 $\frac{aR+b}{R^2-1}$

A repeating pair $ab$ in base $R$ equals $\frac{aR+b}{R^2-1}$

大提示：

先将关于 $F_1$ 、 $F_2$ 的两个方程相加，再相减

Add the equations for $F_1$ and $F_2,$ then subtract them

解答：

两种表示给出 $\begin{aligned} F_1&=\frac{3R_1+7}{R_1^2-1}\\ &=\frac{2R_2+5}{R_2^2-1},\\ F_2&=\frac{7R_1+3}{R_1^2-1}\\ &=\frac{5R_2+2}{R_2^2-1} \end{aligned}\text{。}$ 相加得 $\frac{10}{R_1-1}=\frac{7}{R_2-1}$ ，即 $10R_2-7R_1=3$ 。相减得 $\frac{4}{R_1+1}=\frac{3}{R_2+1}$ ，即 $4R_2-3R_1=-1$ 。解得 $R_1=11$ 、 $R_2=8$ ，它们的和为 $19$ 。

因此，正确答案是 E。

The two descriptions give $\begin{aligned} F_1&=\frac{3R_1+7}{R_1^2-1}\\ &=\frac{2R_2+5}{R_2^2-1},\\ F_2&=\frac{7R_1+3}{R_1^2-1}\\ &=\frac{5R_2+2}{R_2^2-1}. \end{aligned}$ Adding yields $\frac{10}{R_1-1}=\frac{7}{R_2-1},$ or $10R_2-7R_1=3.$ Subtracting yields $\frac{4}{R_1+1}=\frac{3}{R_2+1},$ or $4R_2-3R_1=-1.$ Solving gives $R_1=11,$ $R_2=8,$ whose sum is $19.$

Therefore, the correct answer is E.

40.

图中， $AB$ 是一个圆的直径，圆心为 $O$ ，半径为 $a$ 。作弦 $AD$ 并延长，与圆在 $B$ 点的切线交于 $C$ 。在 $AC$ 上取点 $E$ ，使得 $AE=DC$ 。若 $E$ 的坐标为 $(x,y)$ ，则：

In this figure $AB$ is a diameter of a circle, centered at $O,$ with radius $a.$ A chord $AD$ is drawn and extended to meet the tangent to the circle at $B,$ in point $C.$ Point $E$ is taken on $AC$ so that $AE=DC.$ If the coordinates of $E$ are $(x,y),$ then:

$y^2=\dfrac{x^3}{2a-x}$

$y^2=\dfrac{x^3}{2a+x}$

$y^4=\dfrac{x^2}{2a-x}$

$x^2=\dfrac{y^2}{2a-x}$

$x^2=\dfrac{y^2}{2a+x}$

答案：A

知识点：圆坐标几何相似切线

难度评级：2060

小提示：

从 $E$ 与 $D$ 向直径 $AB$ 作垂线

Drop perpendiculars from $E$ and $D$ to diameter $AB$

大提示：

在两条平行切线之间利用 $AE=DC$ ，再结合高定理与相似三角形

Use $AE=DC$ between the two parallel tangents, then combine the altitude theorem with similar triangles

解答：

分别向 $AB$ 作垂线 $EM$ 和 $DN$ 。因为 $AE=DC$ ，且过 $A,B$ 的切线平行，所以它们的投影给出 $NB=x$ 。因此 $AN=2a-x$ 。在直角三角形 $ADB$ 中，高定理给出 $DN^2=x(2a-x)\text{。}$ 相似三角形 $AME$ 与 $AND$ 给出 $\frac{DN}{2a-x}=\frac{y}{x}$ ，所以 $DN=\frac{y(2a-x)}{x}$ 。代入并约去公因子可得 $y^2=\frac{x^3}{2a-x}\text{。}$

因此，正确答案是 A。

Drop perpendiculars $EM$ and $DN$ to $AB.$ Since $AE=DC$ and the tangents through $A,B$ are parallel, their projections give $NB=x.$ Hence $AN=2a-x.$ In right triangle $ADB,$ the altitude theorem gives $DN^2=x(2a-x).$ Similar triangles $AME$ and $AND$ give $\frac{DN}{2a-x}=\frac{y}{x},$ so $DN=\frac{y(2a-x)}{x}.$ Substitution and cancellation yield $y^2=\frac{x^3}{2a-x}.$

Therefore, the correct answer is A.