Question

若 $ab\ne0$ 且 $|a|\ne|b|$ ，则满足方程的不同 $x$ 值的个数

$\begin{aligned} \frac{x-a}{b}+\frac{x-b}{a} &=\frac{b}{x-a}\\ &\quad+\frac{a}{x-b} \end{aligned}$

为：

If $ab\ne0$ and $|a|\ne|b|,$ the number of distinct values of $x$ satisfying the equation

$\begin{aligned} \frac{x-a}{b}+\frac{x-b}{a} &=\frac{b}{x-a}\\ &\quad+\frac{a}{x-b} \end{aligned}$

is:

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

答案：D

知识点：代数变形因式分解分式方程

难度评级：1710

小提示：

两边通分后都含有分子 $(a+b)x-(a^2+b^2)$

Both sides contain the numerator $(a+b)x-(a^2+b^2)$ after combining terms

大提示：

将方程因式分解成该分子与两个倒数之差的乘积

Factor the equation into that numerator times a difference of reciprocals

解答：

设 $N=(a+b)x-a^2-b^2$ 。两边分别通分可得 $N\left(\frac1{ab} -\frac1{(x-a)(x-b)}\right)=0\text{。}$ 第一个因子给出 $x=\frac{a^2+b^2}{a+b}$ 。第二个因子给出 $(x-a)(x-b)=ab$ ，即 $x(x-a-b)=0$ ，从而得到 $x=0$ 与 $x=a+b$ 。题设条件保证三个值都有定义且互不相同。

因此，正确答案是 D。

Let $N=(a+b)x-a^2-b^2.$ Combining each side gives $N\left(\frac1{ab} -\frac1{(x-a)(x-b)}\right)=0.$ The first factor gives $x=\frac{a^2+b^2}{a+b}.$ The second gives $(x-a)(x-b)=ab,$ or $x(x-a-b)=0,$ giving $x=0$ and $x=a+b.$ The hypotheses ensure that all three are defined and distinct.

Therefore, the correct answer is D.

1966 AMC 12 第 33 题

答案：D

难度评级：1710

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 33 题