Question

数 $15!$ ，即 $15\cdot14\cdot13\cdots1$ ，用 $12$ 进制表示时末尾有 $k$ 个零，用 $10$ 进制表示时末尾有 $h$ 个零，则 $k+h$ 等于：

If the number $15!,$ that is, $15\cdot14\cdot13\cdots1,$ ends with $k$ zeros when given to the base $12$ and ends with $h$ zeros when given to the base $10,$ then $k+h$ equals:

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

答案：D

知识点：阶乘末尾零质因数分解进制

难度评级：2000

小提示：

计算 $15!$ 中因数 $2$ 、 $3$ 和 $5$ 的次数

Count the powers of $2,$ $3,$ and $5$ in $15!$

大提示：

一个 $12$ 进制末尾零需要 $2^2\cdot3$ ，而一个 $10$ 进制末尾零需要 $2\cdot5$

A base- $12$ zero uses $2^2\cdot3$ , while a base- $10$ zero uses $2\cdot5$

解答：

各素因数的次数为 $\begin{gathered} v_2(15!)=11,\\ v_3(15!)=6,\\ v_5(15!)=3 \end{gathered}\text{。}$ 因此在 $12$ 进制中 $k=\min(\lfloor\frac{11}{2}\rfloor,6)=5$ ，在 $10$ 进制中 $h=\min(11,3)=3$ 。所以 $k+h=8$ 。

因此，正确答案是 D。

The prime valuations are $\begin{gathered} v_2(15!)=11,\\ v_3(15!)=6,\\ v_5(15!)=3. \end{gathered}$ Hence $k=\min(\lfloor\frac{11}{2}\rfloor,6)=5$ in base $12,$ and $h=\min(11,3)=3$ in base $10.$ Thus $k+h=8.$

Therefore, the correct answer is D.

1965 AMC 12 第 33 题

答案：D

难度评级：2000

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 33 题