Question

数 $N$ 用 $7$ 进制表示时有三位。当 $N$ 用 $9$ 进制表示时，三个数字的顺序恰好颠倒。则中间一位数字为：

A number $N$ has three digits when expressed in base $7.$ When $N$ is expressed in base $9$ the digits are reversed. Then the middle digit is:

$0$

$1$

$3$

$4$

$5$

答案：A

知识点：进制位值丢番图方程

难度评级：2060

小提示：

设 $7$ 进制的三位数字为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，令 $49a+7b+c$ 等于 $81c+9b+a$

Call the base- $7$ digits $a,$ $b,$ $c$ and equate $49a+7b+c$ to $81c+9b+a$

大提示：

整理为 $24a-b=40c$ ，并利用各数字的范围

Rearrange to $24a-b=40c$ and use the digit bounds

解答：

设 $N=(abc)_7=(cba)_9$ 。则 $49a+7b+c=81c+9b+a$ ，所以 $24a-b=40c$ 。在 $1\leq a\leq6$ 、 $0\leq b\leq6$ 且 $1\leq c\leq6$ 的条件下，唯一可能是 $a=5$ 、 $c=3$ 、 $b=0$ 。事实上， $(503)_7=(305)_9=248$ 。

因此，正确答案是 A。

Let $N=(abc)_7=(cba)_9.$ Then $49a+7b+c=81c+9b+a,$ so $24a-b=40c.$ With $1\leq a\leq6,$ $0\leq b\leq6,$ and $1\leq c\leq6,$ the only possibility is $a=5,$ $c=3,$ $b=0.$ Indeed, $(503)_7=(305)_9=248.$

Therefore, the correct answer is A.

1968 AMC 12 第 33 题

答案：A

难度评级：2060

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 33 题