Question

图中分别以 $AB$ 、 $AC$ 和 $CB$ 为直径作半圆，使它们两两相切。若 $CD\perp AB$ ，则阴影面积与以 $CD$ 为半径的圆面积之比为：

In this diagram semi-circles are constructed on diameters $AB,$ $AC,$ and $CB,$ so that they are mutually tangent. If $CD\perp AB,$ then the ratio of the shaded area to the area of a circle with $CD$ as radius is:

$1:2$

$1:3$

$\sqrt3:7$

$1:4$

$\sqrt2:6$

答案：D

知识点：圆面积直角三角形面积比

难度评级：1990

小提示：

用大半圆的面积减去两个小半圆的面积

Subtract the two small semicircle areas from the large one

大提示：

在直角三角形 $ADB$ 中，高定理给出 $CD^2=AC\cdot CB$

In right triangle $ADB,$ the altitude theorem gives $CD^2=AC\cdot CB$

解答：

设 $AC=u$ 、 $CB=v$ 。阴影面积等于大半圆的面积减去两个小半圆的面积： $\frac{\pi}{8}\bigl((u+v)^2-u^2-v^2\bigr) =\frac{\pi uv}{4}\text{。}$ 因为 $D$ 位于以 $AB$ 为直径的半圆上，所以三角形 $ADB$ 是直角三角形，且其高满足 $CD^2=uv$ 。因此，以 $CD$ 为半径的圆面积为 $\pi uv$ 。所求比为 $1:4$ 。

因此，正确答案是 D。

Let $AC=u$ and $CB=v.$ The shaded area is the large semicircle minus the two smaller ones: $\frac{\pi}{8}\bigl((u+v)^2-u^2-v^2\bigr) =\frac{\pi uv}{4}.$ Since $D$ lies on the semicircle with diameter $AB,$ triangle $ADB$ is right, and its altitude satisfies $CD^2=uv.$ A circle of radius $CD$ therefore has area $\pi uv.$ The required ratio is $1:4.$

Therefore, the correct answer is D.

1967 AMC 12 第 33 题

答案：D

难度评级：1990

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 33 题