Question

给定一个含 $58$ 项的数列；每一项都形如 $P+n$ ，其中 $P$ 表示所有不超过 $61$ 的质数的乘积 $2\cdot3\cdot5\cdots61$ ，而 $n$ 依次取值 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $\ldots$ 、 $59$ 。设该数列中质数的个数为 $N$ 。则 $N$ 是：

You are given a sequence of $58$ terms; each term has the form $P+n$ where $P$ stands for the product $2\cdot3\cdot5\cdots61$ of all prime numbers less than or equal to $61,$ and $n$ takes, successively, the values $2,$ $3,$ $4,$ $\ldots,$ $59.$ Let $N$ be the number of primes appearing in this sequence. Then $N$ is:

$0$

$16$

$17$

$57$

$58$

答案：A

知识点：质数整除性质因数分解

难度评级：1500

小提示：

从 $2$ 到 $59$ 的每个 $n$ 都有一个不超过 $59$ 的质因子

Every $n$ from $2$ through $59$ has a prime divisor at most $59$

大提示：

同一个质因子同时整除 $P$ 和 $n$

That same prime divisor divides both $P$ and $n$

解答：

对给定范围内的每个 $n$ ，选择 $n$ 的一个质因子 $p$ 。由于 $p\le59$ ，它是 $P$ 的一个因子。因此 $p$ 整除 $P+n$ 。又因为 $P+n>p$ ，所以 $P+n$ 是合数。没有一项是质数，故 $N=0$ 。

因此，正确答案是 A。

For each $n$ in the given range, choose a prime divisor $p$ of $n.$ Since $p\le59,$ it is one of the factors of $P.$ Therefore $p$ divides $P+n.$ Moreover $P+n>p,$ so $P+n$ is composite. No term is prime, and $N=0.$

Thus, the correct answer is A.

1960 AMC 12 第 33 题

答案：A

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 33 题