Question

若方程 $ax^2+bx+c=0$ 的一个根是另一个根的两倍，则系数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 必须满足：

For one root of $ax^2+bx+c=0$ to be double the other, the coefficients $a,$ $b,$ $c$ must be related as follows:

$4b^2=9c$

$2b^2=9ac$

$2b^2=9a$

$b^2-8ac=0$

$9b^2=2ac$

答案：B

知识点：二次方程韦达定理代数变形

难度评级：1630

小提示：

将两根表示为 $q$ 和 $2q$

Represent the two roots as $q$ and $2q$

大提示：

对两根之和与积应用韦达定理，再消去 $q$

Apply Vieta’s formulas to their sum and product, then eliminate $q$

解答：

设两根为 $q$ 和 $2q$ 。韦达定理给出 $3q=-\frac ba,\qquad 2q^2=\frac ca\text{。}$ 第一个关系式平方后得 $9q^2=\frac{b^2}{a^2}$ 。将其除以第二个关系式，得到 $\frac92=\frac{b^2}{ac}\text{，}$ 即 $2b^2=9ac$ 。

所以正确答案为 B。

Let the roots be $q$ and $2q.$ Vieta’s formulas give $3q=-\frac ba,\qquad 2q^2=\frac ca.$ Squaring the first relation yields $9q^2=\frac{b^2}{a^2}.$ Dividing this by the second relation gives $\frac92=\frac{b^2}{ac},$ or $2b^2=9ac.$

Therefore, the correct answer is B.

1958 AMC 12 第 33 题

答案：B

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 33 题