Question

方程 $2^{2x}-3^{2y}=55$ 中 $x$ 和 $y$ 均为整数，其解的个数为：

The number of solutions of $2^{2x}-3^{2y}=55,$ in which $x$ and $y$ are integers, is:

$0$

$1$

$2$

$3$

多于三个，但为有限个

more than three, but finite

答案：B

知识点：平方差丢番图方程因数

难度评级：1550

小提示：

将左边按平方差因式分解

Factor the left side as a difference of squares

大提示：

两个正因数的乘积为 $55$ ，且奇偶性相同

The two positive factors multiply to $55$ and have the same parity

解答：

因式分解得 $(2^x-3^y)(2^x+3^y)=55\text{。}$ 首先， $x>0$ 。若 $y\le0$ ，则 $55<4^x\le56$ ，而 $4$ 的整数次幂不可能落在这个范围内。因此 $y>0$ ，两个因数都是正奇整数。因数对 $5$ 、 $11$ 给出 $2^{x+1}=16$ 和 $2\cdot3^y=6$ ，所以 $(x,y)=(3,1)$ 。因数对 $1$ 、 $55$ 则要求 $2^x=28$ ，不可能。因此恰有一个解。

所以，正确答案是 B。

Factor: $(2^x-3^y)(2^x+3^y)=55.$ First, $x>0.$ If $y\le0,$ then $55<4^x\le56,$ which is impossible for an integral power of $4.$ Hence $y>0,$ so both factors are positive odd integers. The factor pair $5,$ $11$ gives $2^{x+1}=16$ and $2\cdot3^y=6,$ so $(x,y)=(3,1).$ The factor pair $1,$ $55$ would require $2^x=28,$ impossible. Hence there is exactly one solution.

Thus, the correct answer is B.

1961 AMC 12 第 33 题

答案：B

难度评级：1550

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 33 题