1966 AMC 12 第 17 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1966 AMC 12 第 17 题

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17.

曲线 $x^2+4y^2=1$ 与 $4x^2+y^2=4$ 共有的不同交点个数为：

The number of distinct points common to the curves $x^2+4y^2=1$ and $4x^2+y^2=4$ is:

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

答案：C

知识点：椭圆换元法方程组

难度评级：1430

小提示：

用第一个方程表示 $x^2$ ，再代入第二个方程

Use the first equation to substitute for $x^2$ in the second

大提示：

求出 $y$ 后，计入 $x$ 的两种可能符号

After finding $y,$ count both possible signs of $x$

解答：

由第一个方程， $x^2=1-4y^2$ 。代入第二个方程得 $4(1-4y^2)+y^2=4\text{，}$ 所以 $y=0$ 。此时 $x^2=1$ ，得到两个点 $(1,0)$ 与 $(-1,0)$ 。

因此，正确答案是 C。

From the first equation, $x^2=1-4y^2.$ Substitution into the second gives $4(1-4y^2)+y^2=4,$ so $y=0.$ Then $x^2=1,$ giving the two points $(1,0)$ and $(-1,0).$

Therefore, the correct answer is C.

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