Question

艾米在一个正方形钟面上画了飞镖盘，并以各整点方向为分界线，如图所示。设 $t$ 为八个三角形区域之一的面积，例如 $12$ 点方向与 $1$ 点方向之间的区域；设 $q$ 为四个角部四边形区域之一的面积，例如 $1$ 点方向与 $2$ 点方向之间的区域。则 $\frac qt=$

Amy painted a dart board over a square clock face using the “hour positions” as boundaries. [See figure.] If $t$ is the area of one of the eight triangular regions such as that between $12$ o’clock and $1$ o’clock, and $q$ is the area of one of the four corner quadrilaterals such as that between $1$ o’clock and $2$ o’clock, then $\frac qt=$

$2\sqrt3-2$

$\frac32$

$\frac{\sqrt5+1}{2}$

$\sqrt3$

$2$

答案：A

知识点：面积比坐标几何 clock angles

难度评级：1960

小提示：

缩放正方形，使其四边分别位于 $x=\pm1$ 和 $y=\pm1$ 。

Scale the square so its sides are $x=\pm1$ and $y=\pm1$

大提示：

$1$ 点方向的射线与上边相交处满足 $x=\frac{1}{\sqrt3}$ 。

The $1$ o’clock ray meets the top side at $x=\frac{1}{\sqrt3}$

解答：

令正方形为 $[-1,1]^2$ ，其中心为原点。 $1$ 点方向的射线与上边相交于 $(\frac{1}{\sqrt3},1)$ ，所以 $t=\frac12\left(\frac1{\sqrt3}\right)(1)=\frac1{2\sqrt3}\text{。}$ 角部四边形的顶点为 $(0,0)$ 、 $(\frac{1}{\sqrt3},1)$ 、 $(1,1)$ 、 $(1,\frac{1}{\sqrt3})$ 。其面积为 $q=1-\frac1{\sqrt3}$ 。因此 $\frac qt=\frac{1-\frac{1}{\sqrt3}}{\frac{1}{2\sqrt3}}=2\sqrt3-2\text{。}$ 故正确答案是 A。

Let the square be $[-1,1]^2$ and its center be the origin. The $1$ o’clock ray meets the top side at $(\frac{1}{\sqrt3},1),$ so $t=\frac12\left(\frac1{\sqrt3}\right)(1)=\frac1{2\sqrt3}.$ The corner quadrilateral has vertices $(0,0),$ $(\frac{1}{\sqrt3},1),$ $(1,1),$ $(1,\frac{1}{\sqrt3}).$ Its area is $q=1-\frac1{\sqrt3}.$ Hence $\frac qt=\frac{1-\frac{1}{\sqrt3}}{\frac{1}{2\sqrt3}}=2\sqrt3-2.$ Thus the correct answer is A.

1993 AMC 12 第 17 题

答案：A

难度评级：1960

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题