Question

直角三角形 $ABC$ 的斜边为 $AB$ ，且 $AC=15$ 。高 $CH$ 将 $AB$ 分成线段 $AH$ 和 $HB$ ，其中 $HB=16$ 。 $\triangle ABC$ 的面积为

A right triangle $ABC$ with hypotenuse $AB$ has side $AC=15.$ Altitude $CH$ divides $AB$ into segments $AH$ and $HB,$ with $HB=16.$ The area of $\triangle ABC$ is

$120$

$144$

$150$

$216$

$144\sqrt5$

答案：C

知识点：直角三角形高线相似三角形面积

难度评级：1920

小提示：

使用直角三角形的射影定理 $AC^2=AH\cdot AB$

Use the right-triangle projection relation $AC^2=AH\cdot AB$

大提示：

求出 $AH$ 后，使用 $CH^2=AH\cdot HB$

After finding $AH,$ use $CH^2=AH\cdot HB$

解答：

令 $AH=h$ 。由直角三角形中的相似关系可得 $\begin{aligned} AC^2&=AH\cdot AB,\\ 225&=h(h+16) \end{aligned}\text{，}$ 所以 $h=9$ 。因此 $AB=25$ 。又有 $CH=\sqrt{AH\cdot HB}$ ，所以 $CH=\sqrt{9\cdot16}=12$ 。面积为 $\frac12\cdot25\cdot12=150$ 。

所以正确答案是 C。

Let $AH=h.$ Similarity in the right triangle gives $\begin{aligned} AC^2&=AH\cdot AB,\\ 225&=h(h+16), \end{aligned}$ so $h=9.$ Hence $AB=25.$ Also $CH=\sqrt{AH\cdot HB},$ so $CH=\sqrt{9\cdot16}=12.$ The area is $\frac12\cdot25\cdot12=150.$

Therefore, the correct answer is C.

1984 AMC 12 第 17 题

答案：C

难度评级：1920

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题