Question

在十进制中，数 $526$ 表示 $5\cdot10^2+2\cdot10+6$ 。但在“数学国”，数是用 $r$ 进制书写的。琼斯在那里花 $440$ 个货币单位（缩写为 m.u.）购买一辆汽车。他交给售货员一张 $1000$ m.u. 的钞票，并找回 $340$ m.u.。进制的底 $r$ 为：

In the base ten number system the number $526$ means $5\cdot10^2+2\cdot10+6.$ In the Land of Mathesis, however, numbers are written in the base $r.$ Jones purchases an automobile there for $440$ monetary units (abbreviated m.u.). He gives the salesman a $1000$ m.u. bill, and receives, in change, $340$ m.u. The base $r$ is:

$2$

$5$

$7$

$8$

$12$

答案：D

知识点：进制位值二次方程

难度评级：1490

小提示：

将 $1000_r-440_r=340_r$ 改写成 $r$ 的幂

Translate $1000_r-440_r=340_r$ into powers of $r$

大提示：

化简所得二次方程，并注意进制底必须大于所有出现的数字

Simplify the resulting quadratic and use a base larger than every digit shown

解答：

用通常的记法，这笔交易表示为 $r^3-(4r^2+4r)=3r^2+4r\text{。}$ 因此 $r(r^2-7r-8)=0$ ，所以 $r=8$ 或 $r=-1$ 。进制的底必须为正且大于 $4$ ，故 $r=8$ 。

因此，正确答案是 D。

In ordinary notation the transaction says $r^3-(4r^2+4r)=3r^2+4r.$ Thus $r(r^2-7r-8)=0,$ so $r=8$ or $r=-1.$ A numeral base must be positive and exceed $4,$ hence $r=8.$

Therefore, the correct answer is D.

1961 AMC 12 第 17 题

答案：D

难度评级：1490

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题