Question

函数 $f$ 在 $x=0$ 时没有定义，但对所有非零实数 $x$ ，都有 $f(x)+2f\left(\frac1x\right)=3x\text{。}$ 满足方程 $f(x)=f(-x)$ 的实数有

The function $f$ is not defined for $x=0,$ but, for all nonzero real numbers $x,$ $f(x)+2f\left(\frac1x\right)=3x.$ The equation $f(x)=f(-x)$ is satisfied by

恰好一个

exactly one real number

恰好两个

exactly two real numbers

一个也没有

no real numbers

无穷多个，但并非所有非零实数

infinitely many, but not all, nonzero real numbers

所有非零实数

all nonzero real numbers

答案：B

知识点：函数方程方程组对称性（代数）

难度评级：1940

小提示：

把 $x$ 替换为 $\frac{1}{x}$ ，再次应用已知关系式

Apply the given relation again after replacing $x$ by $\frac{1}{x}$

大提示：

由两个方程解出 $f(x)$ ，再比较它在 $x$ 与 $-x$ 处的值

Solve the two equations for $f(x)$ , then compare its values at $x$ and $-x$

解答：

把 $x$ 替换为 $\frac{1}{x}$ ，得到 $f(\frac{1}{x})+2f(x)=\frac{3}{x}$ 。解这两个线性方程，得到 $f(x)=\frac2x-x\text{。}$ 因此 $f(-x)=-f(x)$ ，要使两者相等，必须有 $f(x)=0$ 。于是 $\frac{2}{x}-x=0$ ，即 $x^2=2$ 。 $x=\sqrt2$ 与 $x=-\sqrt2$ 都满足条件，所以恰有两个实数解。

所以正确答案是 B。

Replacing $x$ by $\frac{1}{x}$ gives $f(\frac{1}{x})+2f(x)=\frac{3}{x}.$ Solving the two linear equations yields $f(x)=\frac2x-x.$ Hence $f(-x)=-f(x),$ so equality requires $f(x)=0.$ Thus $\frac{2}{x}-x=0,$ or $x^2=2.$ Both $x=\sqrt2$ and $x=-\sqrt2$ work, giving exactly two real numbers.

Therefore, the correct answer is B.

1981 AMC 12 第 17 题

答案：B

难度评级：1940

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题