Question

多项式 $(z + i)(z + 2i)(z + 3i) + 10$ 在复平面中有三个根，其中 $i = \sqrt{-1}$ 。这些根所形成的三角形面积是多少？

The polynomial $(z + i)(z + 2i)(z + 3i) + 10$ has three roots in the complex plane, where $i = \sqrt{-1}.$ What is the area of the triangle formed by these roots?

$6$

$8$

$10$

$12$

$14$

答案：A

知识点：复数多项式三角形面积

难度评级：1930

小提示：

平移到重心：令 $z = u - 2i$ ，使根以原点为中心

Shift by the centroid: let $z = u - 2i$ to center the roots at the origin

大提示：

多项式变为 $u^3 + u + 10$ $= (u + 2)(u^2 - 2u + 5)$

The polynomial becomes $u^3 + u + 10$ $= (u + 2)(u^2 - 2u + 5)$

解答：

根的和为 $-6i$ ，所以重心为 $-2i$ 。代入 $z = u - 2i$ ，得 $\begin{gathered} (u - i)(u)(u + i) + 10 \\ = u(u^2 + 1) + 10 \\ = u^3 + u + 10 \end{gathered}\text{。}$

因为 $u = -2$ 是一个根， $u^3 + u + 10$ $= (u + 2)(u^2 - 2u + 5)$ ，所以根为 $u = -2$ 和 $u = 1 \pm 2i$ 。

这些点是 $(-2, 0)$ 、 $(1, 2)$ 、 $(1, -2)$ 。 $(1, 2)$ 与 $(1, -2)$ 之间的底边长为 $4$ ，到 $(-2, 0)$ 的水平距离为 $3$ ，所以面积为 $\dfrac{1}{2}(4)(3) = 6$ 。平移不改变面积。

因此，正确答案是 A。

The sum of the roots is $-6i,$ so the centroid is $-2i.$ Substituting $z = u - 2i,$ $\begin{gathered} (u - i)(u)(u + i) + 10 \\ = u(u^2 + 1) + 10 \\ = u^3 + u + 10. \end{gathered}$

Since $u = -2$ is a root, $u^3 + u + 10$ $= (u + 2)(u^2 - 2u + 5),$ giving roots $u = -2$ and $u = 1 \pm 2i.$

These are the points $(-2, 0),$ $(1, 2),$ $(1, -2).$ The base between $(1, 2)$ and $(1, -2)$ has length $4,$ at horizontal distance $3$ from $(-2, 0),$ so the area is $\dfrac{1}{2}(4)(3) = 6.$ Translation does not change the area.

Thus, the correct answer is A.

2025 AMC 12A 第 17 题

答案：A

难度评级：1930

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题