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1979 AMC 12 第 17 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

17.

互不相同的点 AA、BB、CC 和 DD 按此顺序位于同一直线上。线段 ABAB、ACAC 和 ADAD 的长度分别为 xx、yy 和 zz。若线段 ABAB 与 CDCD 可分别绕点 BB 与 CC 旋转，使点 AA 与 DD 重合并形成一个面积为正的三角形，则下列三个不等式中哪些必须成立？I. x<z2II. y<x+z2III. y<z2 \begin{aligned} &\text{I. }x\lt\frac z2\\ &\text{II. }y\lt x+\frac z2\\ &\text{III. }y\lt\frac z2 \end{aligned}

Points A,A, B,B, C,C, and DD are distinct and lie, in the given order, on a straight line. Line segments AB,AB, AC,AC, and ADAD have lengths x,x, y,y, and z,z, respectively. If line segments ABAB and CDCD may be rotated about points BB and C,C, respectively, so that points AA and DD coincide, to form a triangle with positive area, then which of the following three inequalities must be satisfied? I. x<z2II. y<x+z2III. y<z2 \begin{aligned} &\text{I. }x\lt\frac z2\\ &\text{II. }y\lt x+\frac z2\\ &\text{III. }y\lt\frac z2 \end{aligned}

仅 I\mathrm{I}

I\mathrm{I} only

仅 II\mathrm{II}

II\mathrm{II} only

仅 I\mathrm{I} 和 II\mathrm{II}

I\mathrm{I} and II\mathrm{II} only

仅 II\mathrm{II} 和 III\mathrm{III}

II\mathrm{II} and III\mathrm{III} only

I\mathrm{I}、II\mathrm{II} 和 III\mathrm{III}

I,\mathrm{I}, II\mathrm{II} and III\mathrm{III}

答案：C
知识点：三角不等式分类讨论逻辑推理
难度评级：2040
小提示：

旋转后，找出新三角形三条边的长度

After the rotations, identify the three side lengths of the new triangle

大提示：

对 xx、y−xy-x 和 z−yz-y 应用三个严格的三角形不等式

Apply all three strict triangle inequalities to x,x, y−x,y-x, and z−yz-y

解答：

新三角形的三条边长为 xx、y−xy-x 和 z−yz-y。由三角形不等式，x<(y−x)+(z−y),⟹x<z2;y−x<x+(z−y),⟹y<x+z2;z−y<x+(y−x),⟹y>z2。 \begin{aligned} x&\lt(y-x)+(z-y),\\ &\Longrightarrow x\lt \frac{z}{2};\\ y-x&\lt x+(z-y),\\ &\Longrightarrow y\lt x+\frac{z}{2};\\ z-y&\lt x+(y-x),\\ &\Longrightarrow y\gt \frac{z}{2} \end{aligned}\text{。}因此，I 与 II 必须成立，而 III 必须不成立。

因此，正确答案是 C。

The new triangle has side lengths x,x, y−x,y-x, and z−y.z-y. Its triangle inequalities give x<(y−x)+(z−y),⟹x<z2;y−x<x+(z−y),⟹y<x+z2;z−y<x+(y−x),⟹y>z2. \begin{aligned} x&\lt(y-x)+(z-y),\\ &\Longrightarrow x\lt \frac{z}{2};\\ y-x&\lt x+(z-y),\\ &\Longrightarrow y\lt x+\frac{z}{2};\\ z-y&\lt x+(y-x),\\ &\Longrightarrow y\gt \frac{z}{2}. \end{aligned} Thus I and II must hold, while III must fail.

Therefore, the correct answer is C.

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