Question

面积为 $A_1$ 的圆位于一个面积为 $A_1+A_2$ 的大圆内部。若大圆的半径为 $3$ ，且 $A_1$ 、 $A_2$ 、 $A_1+A_2$ 成等差数列，则小圆的半径为

A circle with area $A_1$ is contained in the interior of a larger circle with area $A_1+A_2.$ If the radius of the larger circle is $3,$ and if $A_1,$ $A_2,$ $A_1+A_2$ is an arithmetic progression, then the radius of the smaller circle is

$\frac{\sqrt3}{2}$

$1$

$\frac2{\sqrt3}$

$\frac32$

$\sqrt3$

答案：E

知识点：圆面积等差数列代数变形

难度评级：1590

小提示：

利用等差数列中间项的条件列出三个面积的关系

Use the middle-term condition for the three areas in arithmetic progression

大提示：

把大圆的面积表示成 $A_1$ 的倍数

Express the larger circle’s area as a multiple of $A_1$

解答：

等差数列条件给出 $2A_2=A_1+(A_1+A_2)\text{，}$ 因此 $A_2=2A_1$ 。所以大圆面积为 $3A_1=9\pi$ ，从而 $A_1=3\pi$ 。若小圆半径为 $r$ ，则 $\pi r^2=3\pi$ ，所以 $r=\sqrt3$ 。

因此，正确答案是 E。

The progression condition gives $2A_2=A_1+(A_1+A_2),$ so $A_2=2A_1.$ Hence the larger area is $3A_1=9\pi,$ and $A_1=3\pi.$ If the smaller radius is $r,$ then $\pi r^2=3\pi,$ so $r=\sqrt3.$

Therefore, the correct answer is E.

1979 AMC 12 第 16 题

答案：E

难度评级：1590

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 16 题